1 . 已知椭圆的离心率为，依次连接四个顶点得到的图形的面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线过定点．

2 . 已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围.

3 . 已知椭圆的一个顶点为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线椭圆交于、两点，且，求的值.

4 . 已知，是椭圆的左、右焦点，（不在轴上）是椭圆上一点，是线段的中点，的周长为3，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知是椭圆上一点，过作圆：的切线，直线与椭圆交于另一点，判定，的斜率之积是否为定值，若为定值，求出定值.

5 . 椭圆的左，右焦点分别为，，且椭圆过点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点是椭圆上任一点，则该椭圆在点处的切线方程为.已知是椭圆上除顶点之外的任一点，椭圆在点处的切线和过点垂直于该切线的直线分别与轴交于点、.
（i）求证：.
（ii）在椭圆上是否存在点，使得的面积等于1，如果存在，试求出点坐标，若不存在，请说明理由.

6 . 椭圆C：的左、右焦点分别为、，且椭圆C过点，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点是椭圆上任一点，那么椭圆在点M处的切线方程为．已知是（1）中椭圆C上除顶点之外的任一点，椭圆C在N点处的切线和过N点垂直于切线的直线分别与y轴交于点P、Q．求证：点P、N、Q、、在同一圆上．

7 . 椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线交x轴于点P，其中，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值．

8 . 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为，点A在椭圆C上，|AF₁|＝2，∠F₁AF₂＝60°，过F₂与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点M，且MN⊥PQ，求线段MN所在的直线方程．

9 . 写出一个离心率与双曲线的离心率互为倒数的椭圆的标准方程：______．

10 . 如图，已知椭圆，，分别是长轴的左、右两个端点，是右焦点．椭圆过点，离心率为．
   
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线上有两个点，，且．
①求面积的最小值；
②连接交椭圆于另一点（不同于点），证明：、、三点共线．