1 . 已知点为焦点在轴上的等轴双曲线上的一点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线且交双曲线右支于两点，直线分别交该双曲线斜率为正的渐近线于两点，设四边形和三角形的面积分别为和，求的取值范围.

2 . 已知双曲线，过该曲线上的点作不平行于坐标轴的直线交双曲线的右支于另一点，作直线交双曲线的渐近线于两点A，B（A在第一象限）,其渐近线方程为，且，

(1)求双曲线方程．
(2)证明：直线过定点.
(3)当的斜率为负数时，求四边形的面积的取值范围．

3 . 已知等轴双曲线过定点，直线与双曲线交于两点，记，且.
(1)求等轴双曲线的标准方程；
(2)证明：直线过定点.

4 . 已知直线是双曲线的渐近线，且双曲线过点，
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若双曲线与直线交于，（，）两点，直线又与圆切于点M，且，求直线的方程.

5 . 已知点在离心率为的双曲线上，过点的直线交曲线于，两点（，均在第四象限），直线，分别交直线于，两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若的面积为，求直线的方程.

6 . 1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文在这篇文章中，他描述了用粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径.则该双曲线的离心率为___________，如果粒子的路径经过（10，5），则该粒子路径的顶点距双曲线的中心___________.