1 . 已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为的面积为1．
(1)求的方程；
(2)过点作一条直线，交于两点，试问在上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点．

(1)求椭圆的方程；
(2)已知、是椭圆上的两点，，是椭圆上位于直线两侧的动点．
①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；
②当，运动时，满足直线、与轴始终围成一个以底边在轴的等腰三角形，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．

3 . 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆C的方程；
(2)A、B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N，直线AM与直线x＝4交于点P.记PA、PF、BN的斜率分别为k₁、k₂、k₃，是否为定值？并说明理由.

4 . 已知抛物线的焦点为，准线为．
(1)若为双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程；
(2)设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程；
(3)经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线､分别与相交于点．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．

5 . 已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，直线与圆相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)设不过原点的直线与椭圆相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上，记，的面积分别为，，求的取值范围．

6 . 已知点在抛物线上，且到的焦点的距离与到轴的距离之差为.
(1)求的方程；
(2)当时，是上不同于点的两个动点，且直线的斜率之积为为垂足.证明：存在定点，使得为定值.

7 . 已知抛物线：过点.过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点.
(1)求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求的值.

8 . 已知抛物线的准线过椭圆的左焦点,且椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线交椭圆于两点,点在线段上移动,连接交椭圆于两点,过作的垂线交轴于,求面积的最小值.

9 . 已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为1.
(1)求抛物线的方程；
(2)若抛物线上一点A到的距离是4，求A的坐标.

10 . 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上.
(1)求点的坐标和抛物线的准线方程；
(2)过点的直线与抛物线交于，两个不同点，若的中点为，求的面积.