1 . 已知椭圆系方程：(，)， 是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且.

（1）求的离心率并求出的方程；
（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于，两点，点关于原点的对称点为，求证：的面积为定值，并求出这个定值．

2 . 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知不经过点的直线与椭圆交于两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线与轴分别交于两点，证明：．

3 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点.
（1）求椭圆的标准方程以及的取值范围；
（2）求证直线与轴始终围成一个等腰三角形.

4 . 已知椭圆的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且直线与直线的斜率之和为，证明：直线的斜率为定值.

5 . 如图所示，椭圆：（）的离心率为，左焦点为，右焦点为，短轴两个端点、，与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点、，记直线、的斜率分别为、，且.

（1）求椭圆的方程；
（2）求证直线与轴相交于定点，并求出定点坐标；
（3）当弦的中点落在内（包括边界）时，求直线的斜率的取值.

6 . 如图，已知椭圆的右焦点为，点分别是椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴的交点除外），直线交椭圆于另一个点.

（1）当直线经过椭圆的右焦点时，求的面积；
（2）①记直线的斜率分别为，求证：为定值；

②求的取值范围.

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，在轴上有一点满足.
     （1）求椭圆的方程；
     （2）直线与直线交于点，与直线交于点，且，判断并证明直线与椭圆的交点个数.

8 . 如图，已知椭圆的左右顶点分别是，离心率为，设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．

（1）证明：；
（2）若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值．

9 . 已知椭圆：（）的离心率为，点是椭圆的上顶点，点在椭圆上（异于点）.
（Ⅰ）若椭圆过点，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线：与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过点，证明：存在，.

10 . 设直线：（）与椭圆相交于，两个不同的点，与轴相交于点，记为坐标原点．
(1)证明：；
(2)若，求的面积取得最大值时的椭圆方程．