1 . 设三个数，2，成等差数列，其中对应点的曲线方程是．
(1)求的标准方程；
(2)直线与曲线C相交于不同两点，且满足为钝角，其中为直角坐标原点，求出的取值范围．

2 . 已知椭圆：（），过原点的两条直线和分别与交于点、和、，得到平行四边形.
（1）当为正方形时，求该正方形的面积.
（2）若直线和关于轴对称，上任意一点到和的距离分别为和，当为定值时，求此时直线和的斜率及该定值.
（3）当为菱形，且圆内切于菱形时，求，满足的关系式.

3 . 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线交椭圆于两点，若点始终在以为直径的圆内，求实数的取值范围.

4 . 如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”.

（1）若猫眼曲线过点，且的公比为，求猫眼曲线的方程；
（2）对于题（1）中的求猫眼曲线，任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为M，交椭圆所得弦的中点为N，求证：为与无关的定值；
（3）若斜率为的直线为椭圆的切线，且交椭圆于点，为椭圆上的任意一点（点与点不重合），求面积的最大值.

5 . 已知椭圆的对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，以为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于两点，且椭圆上存在点满足，求的值.

6 . 已知椭圆：（），过原点的两条直线和分别与交于点、和、，得到平行四边形.
（1）若，，且为正方形，求该正方形的面积.
（2）若直线的方程为，和关于轴对称，上任意一点到和的距离分别为和，证明：.
（3）当为菱形，且圆内切于菱形时，求，满足的关系式.

7 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，C、D两点的坐标为,曲线上的动点P满足.又曲线上的点A、B满足.
（1）求曲线的方程；
（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；
（3）求证：原点到直线AB的距离为定值.

8 . 如图，设是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于、两点，与轴交于点.

（1）若，求的值；
（2）求证：；
（3）求面积的最大值．

9 . 已知椭圆：．
（1）若抛物线的焦点与的焦点重合，求的标准方程；
（2）若的上顶点、右焦点及轴上一点构成直角三角形，求点的坐标；
（3）若为的中心，为上一点(非的顶点)，过的左顶点，作，交轴于点，交于点，求证：．

10 . 已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：，使得成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.