解题方法
1 . 2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆 和一段圆弧 组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点
和短轴的两个顶点
与
．
(2)直线
交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）．
和短轴的两个顶点与．
(2)直线
交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）．
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解题方法
2 . 某款平安锁边缘形状可以看作平面内一个椭圆的两段“弧”
和以椭圆左右焦点
为圆心的两个半圆
组成，曲线和曲线交于点
，
. 如图1所示建立平面直角坐标系
，曲线所对应的方程为
，
，曲线所对应的方程为
，
.
的值及曲线所在椭圆的离心率
的值；
(2)现要在平安锁上找一个点
作为装饰孔，要求过点
且法向量为
的直线
与曲线交于
两点（如图2所示），满足
，求实数
的值；
(3)商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁，要求该菱形的四边与平安锁椭圆段和圆弧段均相切（如图3所示），求该菱形的面积.
和以椭圆左右焦点为圆心的两个半圆组成，曲线和曲线交于点，. 如图1所示建立平面直角坐标系，曲线所对应的方程为，，曲线所对应的方程为，.
的值及曲线所在椭圆的离心率的值；(2)现要在平安锁上找一个点
作为装饰孔，要求过点且法向量为的直线与曲线交于两点（如图2所示），满足，求实数的值；(3)商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁，要求该菱形的四边与平安锁椭圆段
和圆弧段均相切（如图3所示），求该菱形的面积.
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解题方法
3 . 已知椭圆
.
(1)若椭圆
的左右焦点分别为
为的上顶点，求
的周长；
(2)设过定点
的直线与椭圆交于不同的两点
，且
为锐角（其中
为坐标原点），求直线的斜率
的取值范围.
.(1)若椭圆
的左右焦点分别为为的上顶点，求的周长；(2)设过定点
的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.
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4 . 已知
、
，点
满足
．
(1)求点的轨迹方程；
(2)记动点轨迹为曲线，直线
交曲线于
、
两点，且以
为直径的圆过
，求
的值．
、，点满足．(1)求点
的轨迹方程；(2)记动点
轨迹为曲线，直线交曲线于、两点，且以为直径的圆过，求的值．
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5 . 如图，设
是椭圆
的下焦点，直线
与椭圆相交于、两点，与
轴交于点.
(1)求以为圆心，短轴长为半径的圆的标准方程；
(2)判断直线
与
斜率之和是否为常数，若成立，求出常数值；否则说明理由；
(3)求
面积的最大值.
是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于、两点，与轴交于点.(1)求以
为圆心，短轴长为半径的圆的标准方程；(2)判断直线
与斜率之和是否为常数，若成立，求出常数值；否则说明理由；(3)求
面积的最大值.
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6 . 已知椭圆
的一个焦点为
，离心率为
，椭圆的左右焦点分别为，直角坐标原点记为．设点
，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点
．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆上有一动点
，求
的取值范围；
(3)设线段
的中点为，当
时，判别椭圆上是否存在点
，使得非零向量
与向量
平行，请说明理由．
的一个焦点为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点．(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆上有一动点
，求的取值范围；(3)设线段
的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由．
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解题方法
7 . 已知椭圆C:
的左右两焦点分别为和
，右顶点是A，且
，
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若斜率为1的直线交椭圆C于M、N两点，且
，求直线的方程.
的左右两焦点分别为和，右顶点是A，且，.(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若斜率为1的直线
交椭圆C于M、N两点，且，求直线的方程.
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8 . 已知为坐标原点，曲线
和曲线
有公共点，直线
与曲线
的左支相交于A，B两点，线段AB的中点为．
(1)若曲线和
有且仅有两个公共点，求曲线的离心率；
(2)若是曲线上的点，且在第一象限，，是其左右焦点，当
为直角三角形时，求点的横坐标；
(3)若直线
与曲线相交于C、D两点，且直线OM经过线CD中点，求证：
．
为坐标原点，曲线和曲线有公共点，直线与曲线的左支相交于A，B两点，线段AB的中点为．(1)若曲线
和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率；(2)若
是曲线上的点，且在第一象限，，是其左右焦点，当为直角三角形时，求点的横坐标；(3)若直线
与曲线相交于C、D两点，且直线OM经过线CD中点，求证：．
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9 . 已知椭圆
：，是其左顶点，过点
且不与
轴重合的直线与交于、两点.
(1)若直线垂直于轴，求线段
的长度；
(2)若
，且点在轴上方，求、两点的坐标；
(3)设直线
与轴交于点，直线
与轴交于点，是否存在直线，使得
的面积是
的两倍？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
：，是其左顶点，过点且不与轴重合的直线与交于、两点.(1)若直线
垂直于轴，求线段的长度；(2)若
，且点在轴上方，求、两点的坐标；(3)设直线
与轴交于点，直线与轴交于点，是否存在直线，使得的面积是的两倍？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
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2024-01-14更新
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286次组卷
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2卷引用：上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
23-24高二上·上海·期末
解题方法
10 . 已知椭圆
，过动点
的直线l交x轴于点N，交C于点A、P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．设
．
，求
的周长；
(2)设直线PM的斜率为k，QM的斜率为
，证明：
为定值；
(3)求直线AB倾斜角的最小值．
，过动点的直线l交x轴于点N，交C于点A、P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．设．
，求的周长；(2)设直线PM的斜率为k，QM的斜率为
，证明：为定值；(3)求直线AB倾斜角的最小值．
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