1 . 若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系中，已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右顶点．椭圆以线段为短轴且与椭圆为“相似椭圆”．

(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的两个焦点，，椭圆的焦点为、，求四边形的面积；
(3)设为椭圆上异于，的任意一点，过作轴，垂足为，线段PQ交椭圆于点．求证：为的垂心．

2 . 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点P在底面上的射影是与的交点．已知，是等边三角形．

(1)求证：；
(2)求点到平面的距离；
(3)若点是线段上的动点．问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出这个最大角，并说明点此时所在的位置．

3 . 如图，在直角梯形中，，，，底面，且，在上取点．

   

(1)若，求二面角的大小；
(2)若，写出的函数关系式，并求当x为何值时，BM最小？最小值是多少？

4 . 如图，在正三棱柱中，下底面的面积为，侧面积为18．

(1)求正三棱柱的体积；
(2)若D是AB的中点，求异面直线与BC所成的角的大小．

5 . 一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率．
(1)一小时内没有一台机床需要维护；
(2)一小时内至少有一台机床不需要维护．

6 . 上海某工厂以x吨/天的速度匀速生产某种产品，每天可获得的利润是万元，其中．
(1)要使生产该产品2天获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；
(2)要使生产900吨该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润．

7 . 如图，在长方体中，，，E、F分别是AB、BC的中点．

   

(1)证明、、、四点共面；
(2)求直线与平面所成的角的大小．

8 . 双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点．
(1)若双曲线的离心率为2；求b的值；
(2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率．

9 . 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
(2)写出曲线的两条性质；
(3)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点．证明：是直角三角形．

10 . 设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质.
(1)判断函数在上是否具有性质，并说明理由；
(2)若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围；
(3)设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值.