1 . 2023年10月22日，2023襄阳马拉松成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．

   

(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数．
(2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差．

2 . 若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系中，已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右顶点．椭圆以线段为短轴且与椭圆为“相似椭圆”．

(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的两个焦点，，椭圆的焦点为、，求四边形的面积；
(3)设为椭圆上异于，的任意一点，过作轴，垂足为，线段PQ交椭圆于点．求证：为的垂心．

3 . 在正三棱柱中，为棱的中点，如图所示．

(1)求证：平面；
(2)若二面角的大小为，求直线和平面所成角的正弦值．

4 . 设．
(1)当时，求的最大值和最小值；
(2)已知，且当时，求的值．

5 . 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点P在底面上的射影是与的交点．已知，是等边三角形．

(1)求证：；
(2)求点到平面的距离；
(3)若点是线段上的动点．问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出这个最大角，并说明点此时所在的位置．

6 . 如图，在直角梯形中，，，，底面，且，在上取点．

   

(1)若，求二面角的大小；
(2)若，写出的函数关系式，并求当x为何值时，BM最小？最小值是多少？

7 . 如图，在正三棱柱中，下底面的面积为，侧面积为18．

(1)求正三棱柱的体积；
(2)若D是AB的中点，求异面直线与BC所成的角的大小．

8 . 一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率．
(1)一小时内没有一台机床需要维护；
(2)一小时内至少有一台机床不需要维护．

9 . 上海某工厂以x吨/天的速度匀速生产某种产品，每天可获得的利润是万元，其中．
(1)要使生产该产品2天获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；
(2)要使生产900吨该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润．

10 . 如图，在长方体中，，，E、F分别是AB、BC的中点．

   

(1)证明、、、四点共面；
(2)求直线与平面所成的角的大小．