解题方法
1 . 已知函数.
(1)当时,证明:;
(2)已知,,求证:函数存在极小值.
(1)当时,证明:;
(2)已知,,求证:函数存在极小值.
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2 . 如图,四棱柱的底面是菱形,平面,,,,点为的中点,点为上靠近的三分点.(1)求证:平面;
(2)求二面角的正切值.(先找角再证明最后计算)
(2)求二面角的正切值.(先找角再证明最后计算)
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2024高三·全国·专题练习
3 . 已知,函数有两个零点,记为,.
(1)证明:.
(2)对于,若存在,使得,求证:.
(1)证明:.
(2)对于,若存在,使得,求证:.
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4 . 已知各项均不为0的数列满足(是正整数),,定义函数,是自然对数的底数.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记函数,其中.
(i)证明:对任意,;
(ii)数列满足,设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为:若存在一个常数,使得对任意给定的正实数(不论它多么小),总存在正整数m满足:当时,恒有成立,则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记函数,其中.
(i)证明:对任意,;
(ii)数列满足,设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为:若存在一个常数,使得对任意给定的正实数(不论它多么小),总存在正整数m满足:当时,恒有成立,则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
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解题方法
5 . 已知幂的基本不等式:当,时,.请利用此基本不等式解决下列相关问题:
(1)当,时,求的取值范围;
(2)当,时,求证:;
(3)利用(2)证明对数函数的单调性:当时,对数函数在上是严格增函数.
(1)当,时,求的取值范围;
(2)当,时,求证:;
(3)利用(2)证明对数函数的单调性:当时,对数函数在上是严格增函数.
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解题方法
6 . 如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面,,为中点, 为中点,为线段上动点.(1)若为中点,求证:平面;
(2)证明:平面.
(2)证明:平面.
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解题方法
7 . 若非零函数对任意x,y均有,且当时,.
(1)求,并证明;
(2)求证:为上的减函数;
(3)当时,对时恒有,求实数的取值范围.
(1)求,并证明;
(2)求证:为上的减函数;
(3)当时,对时恒有,求实数的取值范围.
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8 . 已知函数.
(1)证明:;
(2)设,求证:对任意的,都有成立.
(1)证明:;
(2)设,求证:对任意的,都有成立.
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9 . 已知函数,
(1)已知为单调递增函数,请判断的单调性,并用单调性定义证明;
(2)若,求证:方程在区间上有且仅有一个实数解.
(1)已知为单调递增函数,请判断的单调性,并用单调性定义证明;
(2)若,求证:方程在区间上有且仅有一个实数解.
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10 . 个有次序的实数所组成的有序数组称为一个n维向量,其中称为该向量的第个分量.特别地,对一个n维向量,若,,称为n维信号向量.设,则和的内积定义为,且.
(1)写出所有3维信号向量;
(2)直接写出4个两两垂直的4维信号向量;
(3)证明:不存在14个两两垂直的14维信号向量;
(4)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的,求证:.
(1)写出所有3维信号向量;
(2)直接写出4个两两垂直的4维信号向量;
(3)证明:不存在14个两两垂直的14维信号向量;
(4)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的,求证:.
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