1 . 已知动圆经过定点，且与圆：内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.
①求证：为定值；
②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.

2 . 已知椭圆：经过，两点，M，N是椭圆上异于T的两动点，且，直线AM，AN的斜率均存在.并分别记为，.
(1)求证：为常数；
(2)证明直线MN过定点.

3 . 已知椭圆的离心率为，设是C上的动点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C交于点P、Q，若存在圆M与两坐标轴都相切．

(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线OP，OQ的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；
(3)证明：为定值？并求的最大值．

4 . 已知动点(其中)到定点的距离比点到轴的距离大1.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过椭圆的右顶点作直线交曲线于､两点，其中为坐标原点
①求证：；
②设､分别与椭圆相交于点､，证明：原点到直线的距离为定值.

5 . 已知椭圆C：（），，，，四点中恰有三点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于，两点，点为直线上任意一点，求证：直线，，的斜率成等差数列．

6 . 已知椭圆的短轴长为2，点，分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆的上顶点，直线的斜率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)不过右焦点的直线与以短轴为直径的圆相切，且与椭圆交于两点，直线与轴交点记为.
（ⅰ）若，证明：为定值；
（ⅱ）若，求周长的最大值.

7 . 已知定点，定直线，动点在曲线上.
(1)设曲线的离心率为，点到直线的距离为，求证：；
(2)设过定点的动直线与曲线相交于两点，过点与直线垂直的直线与相交于点，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

8 . 设点 是椭圆 上任意一点，过点 作椭圆的切线，与椭圆交于 两点.

(1)求证：;
(2)的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

9 . 已知椭圆上的点到焦点的距离之和为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线分别交直线于两点，求证：．

10 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点是椭圆上不在轴上的任意一点，射线分别与椭圆交于点．设的面积分别为．求证：为定值．