1 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；
(2)设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．求证：点在定直线上，并求出直线的方程；
(3)若满足（2）的直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标．

3 . 已知椭圆，过点的动直线交椭圆于两点，在线段上取点满足，求证：点在某条定直线上．
   

4 . 已知椭圆：的短轴长为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．

5 . 如图所示，已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P，Q是该椭圆上不同于顶点的两点，直线AP与直线QB交于点M，直线AQ与直线PB交于点N．

(1)证明：；
(2)若弦PQ过椭圆的右焦点，求直线MN的方程．

6 . 已知椭圆的焦距为2，经过点，若点P是椭圆C上一个动点（异于椭圆C的左右顶点），点，，，直线PN与曲线C的另一个公共点为Q，直线EP与FQ交于点M．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：当点P变化时，点M恒在一条定直线上．

8 . 已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交于、两点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．

9 . 已知P是圆上的动点，为定点，线段的垂直平分线交线段于点Q，点Q的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点的直线l交曲线C于A，B两点，N为线段上一点，且，证明：点N在某定直线上，并求出该定直线的方程．

10 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直.