1 . 已知椭圆的离心率为，椭圆C的下顶点和上顶点分别为，且，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当k=2时，求△OMN的面积；
（3）求证：直线与直线的交点T恒在一条定直线上.

2 . 设椭圆方程为，椭圆的短轴长为2，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别为椭圆的左、右顶点，过定点的直线与椭圆交于两点，证明：直线，的交点在定直线上.

3 . 已知椭圆的左､右顶点分别为，右焦点为，过的直线与交于两点.
（1）设和的面积分别为，若，求直线的方程；
（2）当直线绕点旋转时，求证：四边形的对边与所在直线的斜率的比值恒为常数.

4 . 已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，已知，过且与轴垂直的直线与直线交于点，求证：点在一定直线上，并求出此直线的方程.

6 . 已知椭圆的左右焦点分别为，，点在上且．
（1）求的标准方程；
（2）设的左右顶点分别为，，为坐标原点，直线过右焦点且不与坐标垂直，与交于，两点，直线与直线相交于点，证明点在定直线上．

7 . 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为，折线与交于，两点.
（1）当时，求的值；
（2）直线与交于点，证明：点在定直线上.

8 . 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，两条曲线在第一象限内的交点满足.
（1）求椭圆以及抛物线的标准方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过椭圆的左焦点作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程.

9 . 已知椭圆C：=1(a>b>0)的离心率e=，F₁，F₂分别为左､右焦点，点T在椭圆上，△TF₁F₂的面积最大为2.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）椭圆C的左､右顶点分别为A，B.过定点(1，0)且斜率不为0的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP和直线BQ相交于椭圆C外一点M，求证：点M的轨迹为定直线.

10 . 已知点是离心率为的椭圆：（）上位于第一象限内的点，过点引轴、轴的平行线，交轴、轴于，两点，交直线于，两点，记与的面积分别为，，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的上、下顶点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点，证明：直线，的交点在一定直线上，并求出该直线方程．