1 . 已知双曲线的左､右顶点分别为，抛物线与双曲线交于两点，记直线，的斜率分别为，则为__________.

2 . 已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.

3 . 已知双曲线：的左右顶点分别为，，点，在双曲线上．
(1)求直线，的斜率之积；
(2)若直线MN的斜率为2，且过点，求的值．

4 . 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为且过点
(1)求双曲线方程；
(2)若过斜率的直线与该双曲线相交于M，N两点，且双曲线与对应的顶点为T.试探讨直线MT与直线NT的斜率之积是否为定值.若是定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由.

5 . 已知双曲线C:（a>0，b>0）离心率为5，A、B分别为左、右顶点，点P为双曲线C在第一象限内的任意一点，点O为坐标原点，若PA、PB的斜率分别为k₁、k₂，则k₁·k₂=   _________ .

6 . 设直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线，的斜率分别为，，若C的离心率为2，则__________.

7 . 已知为坐标原点，双曲线：的离心率为，点P在双曲线上，点，分别为双曲线的左右焦点，.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，，设直线的斜率分别为，.证明：为定值.

8 . 已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点在双曲线上．当、斜率存在时，求证：为定值．

9 . 已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点P在双曲线上．当PA和PB斜率存在时，求证：为定值．

10 . 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C₁：2x²－y²＝1.设椭圆C₂：4x²＋y²＝1.若M，N分别是C₁，C₂上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.