1 . 设抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，.
(1)求抛物线的方程；
(2)为上异于的任意一点，直线分别与的准线相交于两点，证明：以线段为直径的圆经过轴上的两个定点.

2 . 已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A，B两点．
(1)求m的值；
(2)求．

3 . 设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，且，线段的中点到轴的距离为3.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与圆和抛物线均相切，求实数的值.

4 . 已知抛物线C：的焦点F与双曲线E：的一个焦点重合．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段AB的中点M到准线的距离．

5 . 直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，不同的两点，点在抛物线的准线上，且//轴.
(1)证明：；
(2)判断直线是否经过坐标原点，并说明理由.

6 . 已知抛物线（）的焦点F与双曲线的一个焦点重合.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段的中点M到准线的距离.

7 . 设抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，已知.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作方向向量为的直线与曲线相交于，两点，求的面积并求其值域；
(3)设，过点作直线与曲线相交于，两点，问是否存在实数使为钝角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

9 . 已知抛物线上的点与焦点的距离为9，点到轴的距离为．
(1)求抛物线的方程．
(2)经过点的直线与抛物线交于两点，为直线上任意一点，证明：直线的斜率成等差数列．

10 . 已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为2．
(1)求实数的值；
(2)设，是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点，且以线段为直径的圆经过点，作，为垂足，试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，则求出该定点的坐标及定值，若不存在，请说明理由．