1 . 已知抛物线，过点的动直线交抛物线于，两点
（1）当恰为的中点时，求直线的方程；
（2）抛物线上是否存在一个定点，使得以弦为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由

2 . 已知抛物线E：，圆C：．
若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程；
在的条件下，若直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点使为坐标原点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 已知抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=2与x轴的交点为M，与抛物线E的交点为N，且4|FN|=5|MN|．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若直线y=kx+2与E交于A，B两点，C（0，-2），记直线CA，CB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁²+k₂²-2k²为定值．

4 . 已知抛物线：的焦点为，点在上且其横坐标为1，以为圆心、为半径的圆与的准线相切.

（1）求的值；
（2）过点的直线与交于，两点，以、为邻边作平行四边形，若点关于的对称点在上，求的方程.

5 . 已知F为抛物线E：（p＞0）的焦点，C（，1）为E上一点，且|CF|=2．过F任作两条互相垂直的直线，，分别交抛物线E于P，Q和M，N两点，A，B分别为线段PQ和MN的中点．
（1）求抛物线E的方程及点C的坐标；
（2）试问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）证明直线AB经过一个定点，求此定点的坐标，并求△AOB面积的最小值．

6 . 已知过点的直线l与抛物线E：交于点A，B．
若弦AB的中点为M，求直线l的方程；
设O为坐标原点，，求．

7 . 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，抛物线C上一点到焦点F的距离为．
Ⅰ求抛物线C的标准方程；
Ⅱ设点，过点的直线l与抛物线C相交于A，B两点，记直线MA与直线MB的斜率分别为，，证明：为定值．

8 . 已知动圆过定点,且在轴上截得的弦长为，设该动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）直线过曲线的焦点，与曲线交于、两点，且,都垂直于直线，垂足分别为，直线与轴的交点为,求证为定值.

9 . 已知抛物线，过焦点作垂直于轴的直线，与抛物线相交于，两点，为的准线上一点，且的面积为4.
（1）求抛物线的标准方程.
（2）设，若点是抛物线上的任一动点，则是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由.

10 . 已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，线段的长度为8，且的中点到轴的距离为3.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知抛物线与直线交于，两点，判断坐标原点是否在以为直径的圆上，并说明理由.