1 . 已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．
(1)若，求证：；
(2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．

2 . 已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，椭圆C的上顶点为M，右顶点为N，O为坐标原点，的面积为1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l与曲线相切，与椭圆C交于A，B两点，求的取值范围．

3 . 已知椭圆：的离心率，短轴长为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的右顶点，，是轴上关于轴对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为，点为中点，点在直线上且满足（为坐标原点），记，的面积分别为，，若，求直线的斜率．

4 . 已知椭圆的离心率为，左焦点为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为 3 ．
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆交于两点，求的面积．

5 . 过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______．

6 . 已知直线与椭圆相交于A，B两点，求线段的长．

7 . 已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且长轴长为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于A，两点，求弦长.

8 . 平面直角坐标系xOy中，点，，点M满足.记M的轨迹为C.
(1)说明C是什么曲线，并求C的方程；
(2)已知经过的直线l与C交于A，B两点，若，求.

9 . 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆右焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求的长.

10 . 设中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为，为的右焦点，为上一点，轴，的半径为．
(1)求椭圆和的方程；
(2)若直线与交于，两点，与交于，两点，其中，在第一象限，是否存在使？若存在，求的方程：若不存在，说明理由．