1 . 已知圆经过椭圆：的两个焦点和两个顶点，点，，是椭圆上的两点，它们在轴两侧，且的平分线在轴上，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明：直线过定点.

2 . 已知椭圆：经过点（，），且两个焦点，的坐标依次为（1，0）和（1，0）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设，是椭圆上的两个动点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为，求当为何值时，直线与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．

3 . 对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为．利用此结论解答下列问题．点是椭圆上的点，并且椭圆在点处的切线斜率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动点在直线上，经过点的直线，与椭圆相切，切点分别为，．求证：直线必经过一定点．

4 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动点在直线上，过作直线交椭圆于,两点，使得，再过作直线,证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

5 . 椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），过椭圆中心的弦PQ满足丨PQ丨=2，∠PF₂Q=90°，且△PF₂Q的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l不经过点A（0,1），且与椭圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

6 . 如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，是椭圆上异于点的任意两点，且．试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．