1 . 已知椭圆E:经过点P(2,1)，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．

2 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动点在直线上，过作直线交椭圆于,两点，使得，再过作直线,证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

3 . 椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），过椭圆中心的弦PQ满足丨PQ丨=2，∠PF₂Q=90°，且△PF₂Q的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l不经过点A（0,1），且与椭圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

4 . 如图，过点的直线与椭圆相交于两点，过点作轴的平行线交椭圆于点．

(1)求证：直线过定点并求点的坐标；
(2)求三角形面积的最大值．

5 . 已知椭圆的对称轴为坐标轴,焦点在轴,离心率为.是椭圆与轴负半轴的交点,且.
(1)求曲线的方程;
(2)过作两条直线，且与曲线的异于的交点分别为.设的斜率分别是，若,求证:由确定的直线经过定点.

6 . 已知椭圆过点，且离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，过作轴且与椭圆交于另一点，证明直线过定点，并求出定点坐标．

7 . 在直角坐标系中，，，分别为椭圆的右焦点、右顶点和上顶点，若，.
(1)求、的值；
(2)过点作直线交椭圆于，两点，过作平行于轴的直线交椭圆于另外一点，连接，求证：直线经过一个定点．

8 . 已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线分别与，交于，两点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

9 . 已知椭圆：，过点作圆的切线，切点分别为，，直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点．

(1)求椭圆的方程；
(2)如图，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，，证明：直线必过定点，并求此定点坐标．

10 . 已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点（不同于点），直线的斜率分别为.
(1)求椭圆的方程；
(2)当变化时，①求的值；②试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.