1 . 已知双曲线：（，）的离心率为，右顶点到渐近线的距离等于.
(1)求双曲线的方程.
(2)点，在上，且，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

2 . 已知双曲线的离心率为2.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若双曲线的右焦点为，若直线与的左，右两支分别交于两点，过作的垂线，垂足为，试判断直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

4 . 已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.

5 . 已知双曲线经过点，且离心率为2.
(1)求的方程；
(2)过点作轴的垂线，交直线于点，交轴于点.设点为双曲线上的两个动点，直线的斜率分别为，若，求.

6 . 已知双曲线的两个焦点坐标分别为、，的一条渐近线经过点..
(1)求双曲线的方程；
(2)若为的右顶点，过原点且异于坐标轴的直线与交于、两点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为.证明：直线过定点.

7 . 已知等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)斜率为的直线过点，且直线与双曲线的两支分别交于、两点，
①求的取值范围；
②若是关于轴的对称点，证明直线过定点，并求出该定点坐标.

8 . 已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线的左、右顶点分别为，，点为第二象限内的动点，过点作双曲线左支的两条切线，分别与双曲线的左支相切于两点，，已知，的斜率之比为.
   
(1)求双曲线的方程；
(2)直线是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由.
(3)设和的面积分别为和，求的取值范围.
参考结论：点为双曲线上一点，则过点的双曲线的切线方程为.

9 . 已知圆：，定点，如图所示，圆上某一点恰好与点关于直线对称，设直线与直线的交点为.
   
(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）.直线，的斜率分别记为，，且.求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.

10 . 已知双曲线的实轴长为，C的一条渐近线斜率为，直线l交C于P，Q两点，点在双曲线C上.
(1)若直线l过C的右焦点，且斜率为，求的面积；
(2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.