1 . 已知过抛物线焦点F的直线交抛物线于两点．
(1)若AB的斜率为1，求；
(2)求证：的值是定值；
(3)若A点处抛物线的切线方程是，求．

2 . 已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线的另一个交点分别为.

（1）当直线经过抛物线的焦点时，求弦的长；
（2）若，求证：直线的斜率为定值.

3 . 已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点，.

（1）求抛物线的标准方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，证明：为定值；
（3）求的最小值.

4 . 已知直线与抛物线相交于，两点，且线段的中点为．
（1）证明：．
（2）过作轴的垂线，垂足为，过作直线的垂线，交于，两点，求的取值范围．

5 . 已知抛物线：，直线：与抛物线交于，两点，为坐标原点.
（1）当时，且直线过抛物线的焦点时，求的值；
（2）当直线，的倾斜角之和为45°时，求，之间满足的关系式，并证明直线过定点.

6 . 已知是抛物线的焦点，是上异于原点的点，过作的切线与的准线相交于点，点满足，.

（1）求证：；
（2）设直线与抛物线相交于，两点，求面积的取值范围.

7 . 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴，且过点，过的直线交抛物线于，两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线是抛物线的准线，求证：以为直径的圆与直线相切.

8 . 设抛物线（）的焦点为，经过的直线与抛物线交于、两点.
（1）若直线的方向向量为，当焦点为时，求△的面积；
（2）若是抛物线准线上的点，求证：直线、、的斜率成等差数列.

9 . 如图，已知为抛物线上一点，斜率分别为，的直线PA，PB分别交抛物线于点A，B（不与点P重合）.

（1）证明：直线AB的斜率为定值；
（2）若△ABP的内切圆半径为.
（i）求△ABP的周长（用k表示）；
（ii）求直线AB的方程.

10 . 过点直线交抛物线于，两点，抛物线的顶点是.
（1）证明：为定值；
（2）若中点横坐标为2，求的长度及的方程.