1 . 如题图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、，满足、的中点均在抛物线上．

(1)设中点为，且，，证明：；
(2)若是曲线上的动点，求面积的最小值．

2 . 已知椭圆：和抛物线：，点Q为第一象限中抛物线上的动点，过Q作抛物线的切线l分别交y轴、x轴于点A、B，F为抛物线的焦点.

（Ⅰ）求证：平分；
（Ⅱ）若直线l与椭圆相切于点P，求面积的最小值及此时p的值.

3 . 已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交抛物线C于另一点B，交x轴的正半轴于D，且有，当点A的横坐标为时，△为正三角形.

（1）求抛物线C的方程;
（2）若直线，且和抛物线C有且只有一个公共点E，求面积的最小值.

4 . 已知抛物线的焦点为F，点Q在抛物线C上，点P的坐标为，且满足（O为坐标原点）.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l交抛物线C于A，B两点，且弦的中点M在直线上，试求的面积的最大值.

5 . 已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，过斜率为1的直线交抛物线于，两点，的面积为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若为上位于第一象限的任一点，直线与相切于点，连接并延长交于点，过点作的垂线交于另一点，求面积的最小值.

6 . 如图，已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于，两点，点在准线上的投影为，点是抛物线上一点，且满足.

（1）若点坐标是，求线段中点的坐标；
（2）求面积的最小值及此时直线的方程.

7 . 已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于P，Q两点．
（1）若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点G．证明：点G在定直线上．
（2）若p＝2，点M在曲线y上，MP，MQ的中点均在抛物线C上，求△MPQ面积的取值范围．

8 . 如图，已知抛物线的焦点为.

若点为抛物线上异于原点的任一点，过点作抛物线的切线交轴于点，证明：.
，是抛物线上两点，线段的垂直平分线交轴于点 (不与轴平行)，且.过轴上一点作直线轴，且被以为直径的圆截得的弦长为定值，求面积的最大值.

9 . 在平面直角坐标系内，点，过点P作直线的垂线，垂足为M，的中点H在y轴上，且.设点P的轨迹为曲线Q.
（1）求曲线Q的方程；
（2）已知点，A为曲线Q上一点，直线交曲线Q于另一点B，且点A在线段上，直线交曲线Q于另一点C，内切圆的半径是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

10 . 如图，已知抛物线的标准方程为，其中为坐标原点，抛物线的焦点坐标为，为抛物线上任意一点（原点除外），直线过焦点交抛物线于点，直线过点交抛物线于点，连结并延长交抛物线于点．

（1）若弦的长度为8，求的面积；
（2）求的最小值．