1 . 已知动圆
过定点
且与直线
相切，记圆心的轨迹为曲线
．
(1)已知
、
两点的坐标分别为
、
，直线
、
的斜率分别为
、
，证明：
；
(2)若点
、
是轨迹上的两个动点且
，设线段
的中点为
，圆与动点的轨迹
交于不同于
的三点
、
、
，求证：
的重心的横坐标为定值．
过定点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．(1)已知
、两点的坐标分别为、，直线、的斜率分别为、，证明：；(2)若点
、是轨迹上的两个动点且，设线段的中点为，圆与动点的轨迹交于不同于的三点、、，求证：的重心的横坐标为定值．
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2 . 在平面直角坐标系
中，P，Q是抛物线
上两点（异于点O），过点P且与C相切的直线l交x轴于点M，且直线
与l的斜率乘积为
．
(1)求证：直线
过定点，并求此定点D的坐标；(2)过M作l的垂线交椭圆
于A，B两点，过D作l的平行线交直线
于H，记
的面积为S，
的面积为T．①当
取最大值时，求点P的纵坐标；
②证明：存在定点G，使
为定值．
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2023-05-08更新
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940次组卷
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5卷引用：山东省烟台市2023届高考适应性练习（一)数学试题
山东省烟台市2023届高考适应性练习（一)数学试题山东省枣庄市2023届高三三模数学试题湖南省株洲市第二中学2022届高三下学期第三次月考数学试题（已下线）高二上学期期中复习【第三章 圆锥曲线的方程】十二大题型归纳（拔尖篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）通关练17 抛物线8考点精练（3）
2023高三上·全国·专题练习
解题方法
3 . 已知抛物线C：
，过点
的直线
交抛物线交于A，B两点，抛物线在点A处的切线为
，在点B处的切线为
，直线与交于点M.
(1)设直线，的斜率分别为，，求证：
；
(2)证明：点M在定直线上.
，过点的直线交抛物线交于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M.(1)设直线
，的斜率分别为，，求证：；(2)证明：点M在定直线上.
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4 . 已知抛物线C：，过点的直线l交抛物线交于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M.
(1)设直线，的斜率分别为直线，，求证：；
(2)证明：点M在定直线上；
(3)设线段AB的中点为N，求
的取值范围.
，过点的直线l交抛物线交于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M.(1)设直线
，的斜率分别为直线，，求证：；(2)证明：点M在定直线上；
(3)设线段AB的中点为N，求
的取值范围.
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5 . 已知抛物线T：
，点
，过点
的直线交T于
两点，直线AP，BP与T的另一个交点分别为
.
(1)证明：
为定值；
(2)经过点P且与x轴垂直的直线与AD，BC分别交于点E，F，求证：
.
，点，过点的直线交T于两点，直线AP，BP与T的另一个交点分别为.(1)证明：
为定值；(2)经过点P且与x轴垂直的直线与AD，BC分别交于点E，F，求证：
.
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名校
解题方法
6 . 如图，已知
为二次函数
的图像上异于顶点的两个点，曲线
在点处的切线相交于点
.
(1)利用抛物线的定义证明：曲线上的每一个点都在一条抛物线上，并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)求证：
成等差数列，
成等比数列；
(3)设抛物线焦点为，过作
垂直准线，垂足为
，求证：
.
为二次函数的图像上异于顶点的两个点，曲线在点处的切线相交于点.(1)利用抛物线的定义证明：曲线
上的每一个点都在一条抛物线上，并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：
成等差数列，成等比数列；(3)设抛物线
焦点为，过作垂直准线，垂足为，求证：.
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7 . 在平面直角坐标系xOy中，已知圆
与抛物线
交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．
(1)求证：点P的纵坐标为定值；
(2)若F是抛物线C的焦点，证明：
．
与抛物线交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．(1)求证：点P的纵坐标为定值；
(2)若F是抛物线C的焦点，证明：
．
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8 . 设斜率不为
的直线l与抛物线交于A，B两点，与椭圆
交于C，D两点，记直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为
.
（1）若直线l过
，证明：
；
（2）求证：
的值与直线l的斜率的大小无关.
的直线l与抛物线交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点，记直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为.（1）若直线l过
，证明：；（2）求证：
的值与直线l的斜率的大小无关.
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2021-01-06更新
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464次组卷
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5卷引用：广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三8月开学联考数学理试题
广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三8月开学联考数学理试题（已下线）专题07 解析几何中的证明问题（第五篇）-备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖第二章+平面解析几何(能力提升)-2020-2021学年高二数学单元测试定心卷(人教B版2019选择性必修第一册)（已下线）第三章 圆锥曲线的方程 单元检测（A卷）- 2021-2022学年高二数学考点同步解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第三章 （基础过关）圆锥曲线的方程综合 A卷-2021-2022学年高二数学同步单元AB卷（人教A版2019选择性必修第一册）
2024·全国·模拟预测
9 . 已知
为坐标原点，抛物线
上一点
到其准线的距离为3．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设直线
，点是与
轴的交点，过点
作与平行的直线，过点的动直线与抛物线相交于
两点（不与原点重合），直线
分别交直线于点
，证明：
.
为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3．(1)求抛物线
的标准方程；(2)设直线
，点是与轴的交点，过点作与平行的直线，过点的动直线与抛物线相交于两点（不与原点重合），直线分别交直线于点，证明：.
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解题方法
10 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线和点
.点在上，且
.
(1)求的方程；
(2)若直线与相交于
两点，与相交于
两点，直线
的斜率分别为，证明：
.
中，已知抛物线和点.点在上，且.(1)求
的方程；(2)若直线
与相交于两点，与相交于两点，直线的斜率分别为，证明：.
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2024-02-18更新
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119次组卷
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2卷引用：内蒙古自治区锡林郭勒盟2023-2024学年高三上学期1月期末教学质量检测文科数学试题
