名校
解题方法
1 . 某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加
（
，且
）次抽奖，每次中奖的概率为
，不中奖的概率为
，且各次抽奖相互独立．规定第1次抽奖时，若中奖则得10分，否则得5分．第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个；
方案① ：若中奖则得30分，否则得0分；
方案② ：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分．
第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束．
(1)如果
，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由；
(2)记顾客甲第i次获得的分数为
，并且选择方案②．请直接写出
与
的递推关系式，并求
的值．（精确到0.1，参考数据：
．）
（，且）次抽奖，每次中奖的概率为，不中奖的概率为，且各次抽奖相互独立．规定第1次抽奖时，若中奖则得10分，否则得5分．第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个；方案① ：若中奖则得30分，否则得0分；
方案② ：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分．
第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束．
(1)如果
，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由；(2)记顾客甲第i次获得的分数为
，并且选择方案②．请直接写出与的递推关系式，并求的值．（精确到0.1，参考数据：．）
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2022-03-09更新
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3724次组卷
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10卷引用：福建省福州市2022届高三3月质量检测数学试题
福建省福州市2022届高三3月质量检测数学试题（已下线）专题25 随机变量及其分布- 2022届高考数学一模试题分类汇编（新高考卷）（已下线）专题13 概率综合问题-2021-2022学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）2023版 湘教版(2019) 选修第二册 过关斩将 第3章 概率第四章 概率与统计（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教B版2019）福建省建瓯第一中学2021-2022学年高二下学期第一次月考数学试题江苏省连云港市赣榆高级中学2022届高三下学期高考冲刺热身练数学试题广东省深圳市龙岗区平冈中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题（已下线）专题10-2 概率统计（解答题）-2（已下线）广东实验中学2024届高三上学期第一次阶段考试数学试题变式题19-22
名校
2 . 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从
道备选题中一次性随机抽取
道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中
道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有
道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
(1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；
(2)求乙正确完成面试题数
的分布列及其期望.
道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．(1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；
(2)求乙正确完成面试题数
的分布列及其期望.
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2022-05-16更新
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3361次组卷
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13卷引用：湖南省长沙市长沙县2021-2022学年高二下学期期末数学试题
湖南省长沙市长沙县2021-2022学年高二下学期期末数学试题（已下线）专题4期望与方差运算（基础版)（已下线）第08讲 二项分布与超几何分布、正态分布 (高频考点，精讲）-1广西钦州市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题（已下线）7.4 二项分布与超几何分布（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）山西省朔州市怀仁市大地学校高中部2022-2023学年高二下学期第四次月考数学试题（已下线）7.4.2超几何分布 （分层作业）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）第06讲 7.4.1二项分布-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）山东省菏泽市菏泽外国语学校2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题（已下线）7.4.1 二项分布——课堂例题云南省昆明市第八中学2023-2024学年高二下学期月考二数学试卷（已下线）8.2.3-8.2.4二项分布 超几何分布（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）甘肃省白银市靖远县第四中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题
名校
3 . 为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）A． | B． |
C． | D． |
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2021-05-14更新
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5555次组卷
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18卷引用：8.2 古典概型与条件概率（精练）-【一隅三反】2022年高考数学一轮复习（新高考地区专用）
（已下线）8.2 古典概型与条件概率（精练）-【一隅三反】2022年高考数学一轮复习（新高考地区专用）（已下线）考点73 章末检测十一-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）【学科网名师堂】人教A版(2019) 选修第三册 名师精选 第三单元 条件概率与全概率公式山东省滨州市2021届高三二模（5月）数学试题（已下线）【新教材精创】第七章 随机变量及其分布--复习与小结 -A基础练（已下线）【新教材精创】7.1.1 条件概率 -B提高练江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题人教B版(2019) 选修第二册 突围者 第四章 第一节 课时1 条件概率（已下线）选择性必修三综合测试（一）-【上好课】2020-2021学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）第四章 概率与统计 4.1 条件概率与事件的独立性 4.1.1 条件概率苏教版(2019) 选修第二册 名师精选 第八章 第五单元 条件概率山西省实验中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题重庆市万州第二高级中学2023届高三下学期第二次诊断数学试题甘肃省庆阳市华池县第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题（已下线）第01讲 7.1.1条件概率-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）陕西省西安市蓝田县城关中学大学区联考2023-2024学年高二下学期3月阶段性学习效果评测数学试题（已下线）7.1.1 条件概率——课后作业（基础版）
名校
解题方法
4 . 已知随机变量
，，，
，记
，其中
，
，则（ ）
，，，，记，其中，，则（ ）A． | B． |
C． | D．若 ，则 |
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2022-07-09更新
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3549次组卷
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9卷引用：专题14 概率、统计、期望
（已下线）专题14 概率、统计、期望湖北省部分市州2021-2022学年高二下学期7月期末联考数学试题辽宁省阜蒙县育才高级中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（已下线）第四篇 概率与统计 专题2 最可能成功次数 微点2 最可能成功次数综合训练湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考(一)数学试题（已下线）随机变量及其分布（已下线）专题04 超几何分布+二项分布+正态分布压轴题（4）（已下线）第10讲 第七章随机变量及其分布章节验收测评卷-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）山东省烟台市莱州市第一中学2022-2023学年高二下学期第一次质量检测数学试题
5 . 某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：
假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.
(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用
表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求的分布列和数学期望；
(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差DX和DY的大小关系.
甲校 | 乙校 | |||
使用AI作业 | 不使用AI作业 | 使用AI作业 | 不使用AI作业 | |
基本掌握 | 32 | 28 | 50 | 30 |
没有掌握 | 8 | 14 | 12 | 26 |
(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用
表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求的分布列和数学期望；(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差DX和DY的大小关系.
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名校
解题方法
6 . 足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到2
2列联表如下：
依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为
，即
．
（i）求
（直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列
为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到2
2列联表如下：| 喜爱足球运动 | 不喜爱足球运动 | 合计 | |
| 男性 | 60 | 40 | 100 |
| 女性 | 20 | 80 | 100 |
| 合计 | 80 | 120 | 200 |
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第
次触球者是甲的概率记为，即．（i）求
（直接写出结果即可）；（ii）证明：数列
为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．
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2022-08-12更新
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3478次组卷
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14卷引用：广东省东莞市第四高级中学2023届高三上学期9月月考数学试题
广东省东莞市第四高级中学2023届高三上学期9月月考数学试题（已下线）专题42 概率与统计的综合应用-3福建省福州第八中学2023届高三上学期质检四数学试题广东省六校2023届高三上学期第一次联考数学试题（已下线）8.6 分布列与其他知识综合运用（精讲）（已下线）专题17 概率与统计的创新题型（已下线）第八章 成对数据的统计分析（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教A版2019）（已下线）专题9-1 概率与统计及分布列归类（理）（讲+练）-2（已下线）模块三 专题8 成对数据的统计分析--拔高能力练（人教A版）（已下线）模块三 专题6 统计案例--拔高能力练（北师大2019版 高二）（已下线）第九章 统计与成对数据的统计分析（测试）（已下线）考点19 概率中的数列 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）专题05 成对数据的统计分析压轴题（3）（已下线）模块三 专题7 统计--（拔高能力练）（苏教版）
名校
解题方法
7 . 甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（ ）
| A．0.36 | B．0.352 | C．0.288 | D．0.648 |
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2022-04-08更新
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3550次组卷
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10卷引用：临考押题卷01-2022年高考数学临考押题卷(新高考卷)
（已下线）临考押题卷01-2022年高考数学临考押题卷(新高考卷)（已下线）2022年全国高考乙卷数学（理）试题变式题1-4题天津市南开区2021-2022学年高一下学期期中数学试题辽宁省大连市2021-2022学年高二下学期期末数学试题（已下线）2022年全国高考乙卷数学（理）试题变式题9-12题山东省青岛市2022届三下学期一模数学试题甘肃省民勤县第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理） 试卷（已下线）专题44：随机事件的概率-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）江苏省盐城市田家炳中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题（已下线）第7章 概率初步（续）（基础、常考）分类专项训练-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）
名校
解题方法
8 . 乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目.某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制.在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方.
(1)假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为.在一局比赛中，若现在甲､乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率；
(2)假设甲选手每局获胜的概率为
，在前三局甲获胜的前提下，记X表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X的分布列及数学期望.
(1)假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为
.在一局比赛中，若现在甲､乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率；(2)假设甲选手每局获胜的概率为
，在前三局甲获胜的前提下，记X表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X的分布列及数学期望.
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2022-01-16更新
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3514次组卷
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13卷引用：河南省洛阳市2021-2022学年高三上学期第一次统一考试（一模）数学（理）试卷
河南省洛阳市2021-2022学年高三上学期第一次统一考试（一模）数学（理）试卷江苏省南京市金陵中学2021-2022学年高三下学期2月月考数学试题广东省梅州市梅江区梅州中学2022届高三下学期开学热身数学试题重庆市西南大学附属中学校2022届高三下学期第六次月考数学试题江苏省南京市第五高级中学2022届高三下学期一模数学试题（已下线）专题52 盘点随机变量分布列及期望的问题——备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破河南省信阳高级中学2022-2023学年高三上学期开学考试数学（理）试题江苏省盐城中学2022-2023学年高三上学期开学质量检测数学试题江苏省南通西藏民族中学2022-2023学年高三上学期阶段测试数学试题天津市宁河区芦台第一中学2022-2023学年高二下学期5月学情调研数学试题辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题江苏省连云港市灌南高级中学2023-2024学年高三上学期暑期检测(二)数学试题江苏省无锡市洛社高级中学2023-2024学年高三上学期期初调研数学试题
真题
名校
9 . 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
| A．0.648 | B．0.432 | C．0.36 | D．0.312 |
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2016-12-03更新
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20180次组卷
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58卷引用：专题14 概率统计-十年（2012-2021）高考数学真题分项汇编（全国通用）
（已下线）专题14 概率统计-十年（2012-2021）高考数学真题分项汇编（全国通用）（已下线）专题11.7 二项分布、正态分布 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）（已下线）易错点20 概率与统计-备战2022年高考数学考试易错题（已下线）专题50 盘点古典（几何概型）概型及条件概率问题——备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破陕西省宝鸡市金台区2021-2022学年高二下学期期末理科数学试题（已下线）专题12 概率统计选填题-2（已下线）考向44事件的独立性与条件概率（重点）-3四川省蓬溪县蓬南中学2022-2023学年高三上期第四次月考数学试题2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）2016-2017学年河北枣强中学高二上月考三数学（理）试卷（已下线）《考前20天终极攻略》5月30日 概率【理科】（已下线）《高频考点解密》—解密25 概率（已下线）实战演练9.1-2018年高考艺考步步高系列数学【全国百强校】四川省双流县棠湖中学2019届高三上学期期末考试数学（理）试题【全国百强校】四川省棠湖中学2019届高三上学期期末考试数学（文）试题人教B版(2019) 必修第二册 逆袭之路 第五章 统计与概率 专题二 高考中的统计与概率问题2020届辽宁省盘锦市兴隆台区辽河油田第二高级中学高三上学期期末数学（理）试题人教A版(2019) 必修第二册 逆袭之路 第十章 10.2 事件的相互独立性人教A版(2019) 必修第二册 过关斩将 第十章 10.2～10.3 综合拔高练沪教版(上海) 高三年级 新高考辅导与训练 第二部分 走近高考 第六章 概率高考题选人教A版(2019) 必修第二册 第十章 概率 单元测试山西省朔州市应县第一中学校2019-2020学年高二下学期期中数学（理）试题人教A版(2019) 选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布列 单元测试湖北省黄冈市黄梅国际育才高级中学2018-2019学年高二下学期3月月考数学(理)试题吉林省长春市榆树市第一高级中学等校2019-2020学年高二下学期联考数学（理）试题内蒙古通辽市奈曼旗实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题（已下线）专题11.7 二项分布、正态分布（练）-2021年新高考数学一轮复习讲练测（已下线）专题35 随机变量及其分布列（单元测试卷）-2020-2021学年高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练重庆市巴蜀中学2021届高三下学期第一次诊断性测试数学试题第六课时 课前 7.4.1 二项分布河南省林州市第一中学2018-2019学年高二5月月考数学（理）试题北京十一学校2020-2021学年高二上期末数学试题北京市十一学校2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题（已下线）13.3 二项分布、超几何分布与数字特征（已下线）7.4.1 二项分布(2)陕西省渭南市合阳中学2022-2023学年高二下学期5月质量检测理科数学试题（已下线）第四篇 概率与统计 专题7 常见分布 微点1 常见分布北京市第一六六中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（已下线）第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（七大题型）（讲义）河南省济源市第一中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题（已下线）FHsx1225yl134北京市第十三中学2023-2024学年高二下学期期中测试数学试卷（已下线）8.5 二项分布、超几何分布与正态分布（高考真题素材之十年高考）（已下线）专题18 概率统计选择题（理科）-2北京市铁路第二中学2023~2024学年高二下学期期中考试数学试卷2016届福建省厦门一中高三下学期周考六理科数学试卷2015-2016学年福建省莆田六中高二下期中理科数学B卷【全国百强校】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题【全国百强校】黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题福建省晋江市南侨中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（理）试题湖南省常德市2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试题（已下线）专题10.6 二项分布及其应用（练）-浙江版《2020年高考一轮复习讲练测》江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题（已下线）第07练 二项分布与正态分布-2021年高考数学一轮复习小题必刷（山东专用）福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题（已下线）【新东方】双师317高一下黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2020-2021学年高二下学期6月月考数学（理）试题（已下线）微专题04 体育比赛与闯关问题
名校
10 . 某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件．
(1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量；
(2)已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率；
(3)现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？
(1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量；
(2)已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率；
(3)现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？
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2022-04-28更新
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3383次组卷
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11卷引用：海南省海口市2022届高三下学期学生学科能力诊断数学试题
海南省海口市2022届高三下学期学生学科能力诊断数学试题（已下线）专题11 条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式、乘法公式-2021-2022学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）（已下线）专题47 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-3（已下线）考向40 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（七大经典题型）-2黑龙江省实验中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题（已下线）第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 (精练）黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学校2022-2023学年高三上学期开学考试数学试题（已下线）专题10 概率与统计的综合运用（精讲精练）-2（已下线）7.1.2全概率公式(精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）重庆市部分学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题贵州省铜仁市2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题
