1 . 某游戏公司设计了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：

关卡	1	2	3	4	5	6
平均过关时间（单位：秒）	50	78	124	121	137	352

计算得到一些统计量的值为：，，其中．
(1)若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的回归方程；
(2)制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过，可获得3分并进入下一关，否则获得分且该轮游戏结束．甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分”的分布列和数学期望．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．

2 . 某商场为庆祝开业十周年，开展了为期一个月的有奖促销活动，消费者一次性消费满200元，即可参加抽奖活动．抽奖盒子中装有大小相同的2个黄球和2个白球，规则如下：每次从盒子中任取两个球，若取到的两个球均为黄球，则中奖并获得奖品一份，活动结束；否则将取出的两个球放回盒中，并再放入一个大小相同的红球，按上述规则，重复抽奖，参加抽奖的消费者最多进行三次，即使第三次没有中奖，抽奖也会结束．
(1)现某消费者一次性消费200元，记其参加抽奖的次数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)随着抽奖活动的有效开展，参加抽奖活动的人数越来越多，表示第天参加抽奖活动的人数，该商场对活动前5天参加抽奖活动的人数进行统计，得到数据如下：

第天	1	2	3	4	5
人数

经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．
（i）计算相关系数，并说明与的线性相关程度的强弱；（结果精确到0.01）
（ii）请用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并据此估计第10天参加抽奖的消费者人数．
附：①相关系数：
最小二乘估计分别为：
②参考数据：．

3 . 某工厂引进新的生产设备，为对其进行评估，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

直径/mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73	合计
件数	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
(1)为评估设备对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量和原料中的该材料含量之间的相关关系，现取了8对观测值，求与的线性回归方程.
(2)为评判设备生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；
①；②；③.
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.
(3)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品．从样本中随意抽取2件零件，再从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数的数学期望.
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；
②参考数据：，，，.

4 . 经销商小王对其所经营的某型号二手汽车的使用年数与每辆车的销售价格（单位：万元）进行整理，得到如表的对应数据：

使用年数	2	4	6	8	10
售价	16	13	9.5	7	4.5

(1)试求y关于x的回归直线方程；
(2)已知每辆该型号汽车的收购价格w（单位：万元）与使用年数的函数关系为，据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润最大.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

5 . 随着《年中国诗词大会》在央视持续热播，人们掀起了学习古诗词的热潮，这也使得古诗词书很畅销.某书店统计了连续天中第天来购买古诗词书的人数的相关数据，
如下表所示：

	1	2	3	4	5
	25	30	40	45	55

(1)若与线性相关，求关于的线性回归方程，并预测第天来购买古诗词书的人数；
(2)在《年中国诗词大会》.上集结了“少儿团”、“青年团”、“百行团”、“亲友团”的诗词爱好者.某平台为了解喜欢古诗词与性别的关系，随机调查了位男性，位女性，其中不喜欢古诗词的男性有人，女性有人，能否有的把握认为喜欢古诗词与性别有关?
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；，.

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

7 . 无论是国际形势还是国内消费状况，2023 年都是充满挑战的一年，为应对复杂的经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得了较好的效果．某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大量的广告宣传．为了解大众传媒对本次促销活动的影响，在本市内随机抽取了6个大型零售卖场，得到其宣传费用x(单位：万元)和销售额y(单位：万元)的数据如下：

卖场	1	2	3	4	5	6
宣传费用	2	3	5	6	8	12
销售额	30	34	40	45	50	60

(1)求y关于x的线性回归方程，并预测当宣传费用至少多少万元时(结果取整数)，销售额能突破100万元；
(2)经济活动中，人们往往关注投入和产出比，在这次促销活动中，设销售额与投入的宣传费用的比为，若，则称这次宣传策划是高效的，否则为非高效的．从这6家卖场中随机抽取3家，求这3家卖场中至少有1家宣传策划高效的概率．
附：参考数据 回归直线方程中和的最小二乘法的估计公式分别为：

10 . 某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

日期	4月1日	4月7日	4月15日	4月21日	4月30日
温差x/℃	10	11	13	12	9
发芽数y/颗	23	25	30	26	16

(1)从这5天中任选2天，求这2天发芽的种子数均不大于26的概率；
(2)请根据这5天中的数据，求出关于的线性回归方程．
附：回归直线的斜率的最小二乘估计公式为．