1 . 某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有A，B，C，D四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有A，B，C，D四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生接种A种疫苗后，再为居民们接种，记第n位居民（不包含张医生）接种A，B，C，D四种疫苗的概率分别为.
(1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；
(2)证明：；
(3)张医生认为，一段时间后接种A，B，C，D四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种A，B，C，D四种的概率，解释张医生观点的合理性.
参考数据：

2 . 某学校常年开设某课程，今年该校在某年级开设的该课程共有若干个班，由若干位不同的老师授课，其中某位老师班上的评分标准如下：每位同学该课程的分数（满分分）由两部分组成，一部分为“平时分”，学期内共有次考勤，每次出勤计分，另一部分为“期末分”，是由期末考试的卷面成绩（满分分）按照卷面成绩比期末分的比例折算而来．如，一名同学出勤次，期末考试的卷面成绩为分，则该同学该课程的最终评分为：（分）．
(1)一同学期末考试的卷面成绩为分，假设该同学每次考勤时出勤的概率均为且互相独立，求该同学的最终评分及格（即大于等于分）的概率（结果保留三位小数）；
(2)经过统计，教务处公布今年该课程的该年级平均分约为，标准差约为，且学生成绩近似满足正态分布．据此，该老师估计该年级几乎没有需要重修（即分数未达到分）的学生，请用所学知识解释老师的这一观点；
(3)泊松分布可以用来描述某些小概率事件的发生．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则，其中为自然对数的底数．根据往年的数据，我们认为该课程每年每个班级需要重修的学生数量近似服从泊松分布，假设，证明每年每个班级出现多于一名需要重修该课程的学生的概率低于百分之一．
参考数据：，，，
若，则，
，．

3 . 现有4个除颜色外完全一样的小球和3个分别标有甲、乙、丙的盒子，将4个球全部随机放入三个盒子中（允许有空盒）．
(1)记盒子乙中的小球个数为随机变量，求的数学期望；
(2)对于两个不互相独立的事件，若，称为事件的相关系数．
①若，求证：；
②若事件盒子乙不空，事件至少有两个盒子不空，求．

4 . 由个小正方形构成长方形网格有行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为，放红球的概率为q，.
(1)若，，记表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：

n	1	2	3	4	5
y	76	56	42	30	26

求y关于n的回归方程，并预测时，y的值；（精确到1）
(2)若，，，，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：.
附：经验回归方程系数：，，，.

5 . 某5G传输设备由奇数根相同的光导纤维并联组成，每根光导纤维能正常传输信号的概率均为，且每根光导纤维能否正常传输信号相互独立．已知该设备中有超过一半的光导纤维能正常传输信号，这个5G传输设备才可以正常工作．记根光导纤维组成的这种5G传输设备可以正常工作的概率为．
（1）用p表示；
（2）当时，证明：；
（3）为提高这个5G传输设备正常工作的概率，在这个传输设备上再并联两根相同规格的光导纤维，且新增光导纤维后的5G传输设备有超过一半的光导纤维能正常传输信号才可以正常工作．确定的取值范围，使新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率．