1 . 某公司有6路热线电话，经长期统计发现，在8点至10点这段时间内，热线电话同时打入情况如下表所示：

电话同时打入数	0	1	2	3	4	5	6
概率	0.13	0.35	0.27	0.14	0.08	0.02	0.01

(1)若这段时间内，公司只安排了2位接线员．（一个接线员一次只能接一个电话）
①求至少有一路电话不能一次接通的概率；
②在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这一时间内至少有一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用至少一路电话不能一次接通的概率表示公司形象的“损害度”，求这种情况下公司形象的“损害度”；
(2)求一周五个工作日的这一时间内，电话同时打入数的期望．

2 . 猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 记复数的一个构造:从数集中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复次这样的构造，可得到个复数，将它们的乘积记为.已知复数具有运算性质:，其中.
(1)当时，记的取值为，求的分布列;
(2)当时，求满足的概率;
(3)求的概率.

4 . 2024年元旦期间，辽宁省推出了将冰雪温泉、民俗文化与体育活动深度融合的冬季主题系列活动．现主委会要招募一批志愿者，应聘者需参加相关测试，测试合格者才能予以录用．测试备选题中关于冰雪温泉内容的有3道，关于民俗文化内容的有4道，关于体育活动内容的有道．已知应聘者甲随机抽出2道题都是关于冰雪温泉内容的概率为．

(1)求的值；
(2)招募方案规定：每位应聘者要从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为测试合格．已知应聘者甲能答对备选题中的6道题，应聘者乙答对每道备选题的概率都是．

（ⅰ）求应聘者甲答对题的数量的分布列和数学期望；

（ⅱ）试估计甲、乙两名应聘者谁被录用的可能性大，并说明理由．

5 . 在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆，一个酒鬼家住在，其相对位置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是（       ）

   

A．若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为

B．若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为

C．若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为

D．若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为

6 . 某地文化和旅游局统计了春节期间100个家庭的旅游支出情况，统计得到这100个家庭的旅游支出（单位：千元）数据，按分成5组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．

   

(1)估计这100个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(2)估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数（结果保留一位小数）；
(3)以这100个家庭的旅游支出数据各组的频率代替各组的概率，在全国范围内随机抽取2个春节期间出游的家庭，每个家庭的旅游支出情况互相不受影响，求恰有1个家庭的旅游支出在内的概率．

7 . 蓝莓富含花青素，具有活化视网膜的功效，可以强化视力，防止眼球疲劳，是世界粮农组织推荐的五大健康水果之一.截至2023年，全国蓝䔦种植面积达到110万亩，其中云南蓝莓种植面积达到17.6万亩，产量达到10.5万吨，是蓝莓鲜果产量第一省.已知甲农户种植了矮丛蓝莓､高丛蓝莓､兔眼蓝莓3种蓝莓，这3种蓝莓年产量各自达到1000斤的概率分别为.
(1)求这3种蓝莓年产量都达到1000斤的概率；
(2)求这3种蓝莓中至多有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率.

8 . 联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛，决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分；抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分；两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别，乙答对两道题的概率分别为，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为，甲答对任意一题的概率为，乙答对任意一题的概率为，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立.
(1)在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率；
(2)在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率；
(3)若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束，求随机变量X的分布列及数学期望.

9 . 某学校组织知识竞赛，题库中试题分，两种类型，每个学生选择2题作答，第1题从，两种试题中随机选择一题作答，学生若答对第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为，若答错第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为.已知学生甲答对种试题的概率均为，答对种试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立.
(1)求学生甲2题均选择种试题作答的概率；
(2)若学生甲第1题选择种试题作答，记学生甲答对的试题数为，求的分布列与期望.

10 . 甲､乙两选手进行象棋比赛，设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
(1)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，求的取值范围；
(2)若，已知甲乙进行了局比赛且甲胜了13局，试给出的估计值（表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）.