1 . 为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：
85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：
90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表

分数	80	85	90	95	100
人数	3	3	a	b	3

【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表

统计量班级	平均数	中位数	众数	方差
八年级（1）班			95	41.5
八年级（3）班	91	90		26.5

【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题．
(1)请补全条形统计图：
(2)填空：______，______；
(3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
(4)从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．

2 . 口袋中有红、黄、蓝三个除颜色外完全相同的小球，分别求以下三个事件的概率．
(1)“从中任意摸出两个，摸到红球”．
(2)“从中不放回地依次随机摸出两个，摸到红球”．
(3)“从中有放回地依次随机摸出两个，摸到红球”．

3 . 已知奖箱共张奖券，其中一等奖张，其余都是二、三等奖.
(1)不放回的每次抽取一张，求第二次抽到一等奖的概率；
(2)若，且二、三等奖个数比例为.
（i）不放回的每次抽取一张，抽完为止.求一等奖最先全部抽出的概率.
（ii）游戏规定：初始分为0分，每次从奖箱中有放回的抽取一张，取到一等奖得1分，取到非一等奖得分，分数为2分时或分时结束.求游戏结束时，抽取次数的数学期望.

4 . 已知有穷数列的通项公式为，将数列中各项重新排列构成新数列，则称数列是的“重排数列”；若数列各项均满足，则称数列是的“完全重排数列”，记项数为的数列的“完全重排数列”的个数为．
(1)计算，，；
(2)写出和，之间的递推关系，并证明：数列是等比数列；
(3)若从数列及其所有“重排数列”中随机选取一个数列，记数列是的“完全重排数列”的概率为，证明：当无穷大时，趋近于．（参考公式：）

5 . 某台球选手采用如下方法进行障碍球训练：在不透明的盒子里装有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外完全相同，每次击球前从盒中任取一个球放置到障碍点，然后用母球击球．如果障碍球被打进，则继续从盒子中取球放置到另一个障碍点，进行第二次击球；如果障碍球没被打进，则继续在同一点进行第二次击球；如此反复进行下去，直到5个球全部被打进去为止．假设该选手在每个障碍点将球打进的概率都是．
(1)记事件 “三次击球共打进一个红球和一个黑球”，记事件 “第次击球打进红球”，事件 “第次击球打进黑球”，事件 “第次击球没打进球”，写出事件的样本空间中包含的所有基本事件，求的值；
(2)记第次击球后5个球全部被打进的概率为，求的最大值．

6 . 已知不透明的盒子中有8个相同的乒乓球，球上标有数字1，2，3，…，8，有放回地随机抽取两次（每次抽取1个球），记下球上的数字，，原点和点，点．
(1)记事件或．求事件发生的概率．
(2)记事件的面积不大于5．求事件发生的概率．
(3)记事件是锐角．事件是锐角三角形．求在事件发生的条件下事件发生的概率．

7 . 数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字．发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为；发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为．假设每次数字的传输相互独立，且．
(1)当时，若发送的数据为“10”，求收到的所有数字都正确的概率；
(2)用表示收到的数字串，将中数字1的个数记为，如“1011”，则．
（ⅰ）若发送的数据为：“100”，且，求；
（ⅱ）若发送的数据为“1100”，求的最大值．

8 . 设随机变量的概率密度函数为（当为离散型随机变量时，为的概率），其中为未知参数，极大似然法是求未知参数的一种方法.在次随机试验中，随机变量的观测值分别为，，…，，定义为似然函数.若时，取得最大值，则称为参数的极大似然估计值.
(1)若随机变量的分布列为

	1	2	3

其中.在3次随机试验中，的观测值分别为1，2，1，求的极大似然估计值.
(2)某鱼池中有鱼尾，从中捞取50尾，做好记号后放回鱼塘.现从中随机捞取20尾，观测到做记号的有5尾，求的极大似然估计值.
(3)随机变量的概率密度函数为，.若，，…，是的一组观测值，证明：参数的极大似然估计值为.

9 . 某公司拟通过摸球抽奖的方式对员工发放生日红包.先在一个不透明的袋子中装入7个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为100元、200元、300元的球分别有2个、2个、3个.参与的员工每次从袋中随机摸出1个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：某员工摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的生日红包的总金额.
(1)当时，求甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率；
(2)当时，设事件“甲员工获得的生日红包总金额不超过400元”，事件“甲员工获得的生日红包总金额不低于300元”，试判断事件，是否相互独立，并说明理由.

10 . 给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记，那么A与I的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强．
(1)当时，求的所有可能取值；
(2)当时，求的概率；
(3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为a，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为？请说明理由．