1 . 一个骰子各个面上分别写有数字，现抛掷该股子2次，记第一次正面朝上的数字为，第二次正面朝上的数字为，记不超过的最大整数为．
(1)求事件“”发生的概率，并判断事件“”与事件“”是否为互斥事件；
(2)求的分布列与数学期望．

2 . 某学校组织知识竞赛，题库中试题分，两种类型，每个学生选择2题作答，第1题从，两种试题中随机选择一题作答，学生若答对第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为，若答错第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为.已知学生甲答对种试题的概率均为，答对种试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立.
(1)求学生甲2题均选择种试题作答的概率；
(2)若学生甲第1题选择种试题作答，记学生甲答对的试题数为，求的分布列与期望.

3 . 某中学选拔出20名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有8名、高二学生有7名、高三学生有5名．
(1)若从数学奥赛集训队中随机抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率．
(2)现学校欲对数学奥赛集训队成员进行考核，考核规则如下：考核共4道题，前2道题答对每道题计1分，答错计0分，后2道题答对每道题计2分，答错计0分，累积计分不低于5分的学生为优秀学员．已知张同学前2道题每道题答对的概率均为，后2道题每道题答对的概率均为，是否正确回答每道题之间互不影响．记张同学在本次考核中累积计分为X，求X的分布列和数学期望，并求张同学在本次考核中获得优秀学员称号的概率．

4 . 2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州亚运会以“中国新时代杭州新亚运”为定位、“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”为目标，秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办会理念，坚持“以杭州为主、浙江全省共享”的办赛原则，会前，为喜迎亚运，某商场组织了“文明迎亚运”知识竞赛活动，每名参赛者需要回答A、、三道题目，通过答题获得积分，进而获得相应的礼品．每题答错得0分，答对A题目得1分，答对、题目分别得2分，每名参赛者的最后得分为每题得分的累积得分，已知一名参赛者答对A题目的概率为，答对、题目的概率均为，并且每题答对与否相互独立．
(1)求该名参赛者恰好答对两道题目的概率：
(2)求该名参赛者最终累积得分的分布列和数学期望．

5 . 2023年第31届大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿态，展竞技之美，攀体育高峰．最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178放奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大学生积极进行体育锻炼的热情．已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下：

体育锻炼目的情况 （上午，下午）	（足球，足球）	（足球，羽毛球）	（羽毛球，足球）	（羽毛球，羽毛球）
甲	20天			10天
乙	10天	10天	5天	25天

假设甲､乙上午､下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率．
(1)已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为，请将表格内容补充完整；（写出计算过程）
(2)记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求的分布列和数学期望；
(3)在（1）的前提下，已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率．

6 . 数据中心是全球协作的特定设备网络，用于在网络上处理、存储和传递数据信息．由于数据中心对算力的要求很高，在高速运转时往往会产生巨大的热量．如果不对设备进行散热，会对设备的正常运作造成不可忽视的影响．氟化液是最为适合浸没式液冷系统的电子设备冷却液．由于氟化液技术壁垒较高，此前高性能电子氟化液长期被国外垄断.2020年巨化集团技术中心成功开发出高性能巨芯冷却液，填补了国内高性能大数据中心专用冷却液的空白．一工厂生产某型号的氯化液其抗张强度⩾100Mpa为合格品，否则为不合格品．该厂有新旧两套生产设备同时生产，按两设备生产量分层抽样进行检测，其中新设备和旧设备生产的产品中分别抽取了12桶和8桶，测得每桶抗张强度值（单位：Mpa）如下表所示：

甲	102.1	101.0	100.8	103.6	107.6	99.9	100.2	100.9	105.7	98.8	103.2	104.1
乙	103.3	102.6	107.1	99.5	102.8	103.6	99.5	102.3

(1)根据抽检结果请完成下面的列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析新设备是否比旧设备好．

	合格（桶）	不合格（桶）	合计
新设备
旧设备
合计

(2)从旧设备产品抽得的样本中随机抽取3桶，求抽到的不合格桶数的分布列和数学期望；
(3)从该厂所有产品中任取一桶，用抽检频率估计概率，求抽到的一桶不合格的概率．
参考公式：，其中．

	0.15	0.10	0.05	0.025
	2.072	2.706	3.841	5.024

7 . 某健身俱乐部举办“燃脂运动，健康体魄”活动，参训的学员700人中超过90%属于超重人员，经过艰苦的训练，近五个月学员体重指标变化如下表：

月份	1	2	3	4	5
超重人数	600	500	420	340	240

(1)已知变量与变量具有线性相关关系，建立以为解释变量，为响应变量的一元经验回归方程；
(2)俱乐部王教练每天从骑车和游泳中随机选择一种对学员进行减脂训练.选择方法如下：第一天选择骑车，随后每天用“一次性抛掷4枚质地均匀的硬币”来确定训练方式，若正面朝上的枚数小于3，则该天训练方式与前一天相同，否则选择另一种方式.求前三天骑车训练的天数的分布列和数学期望.
附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
参考数据：.

8 . 某公司有A，B两个食堂，公司的甲、乙、丙三位员工每天中午都在公司食堂用餐，据以往的用餐统计，甲、乙两名员工每天中午在A食堂用餐的概率均为，在B食堂用餐的概率均为，而丙员工每天中午在A食堂用餐的概率为，在B食堂用餐的概率为．三人在哪个食堂用餐互不影响．
(1)证明：甲、乙、丙三人中每天中午恰有一人在A食堂用餐的概率与无关；
(2)若，求三人中每天中午在B食堂用餐的人数的分布列和数学期望．

9 . 灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.

(1)求的分布列；
(2)若满足的n的最小值为，求；
(3)在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优.

10 . 根据《全国普通高等学校体育课程教学指导纲要》第六条：普通高等学校要对三年级及以上学生开设体育选修课．某学院大三、大四年级的学生可以选择羽毛球、健美操、乒乓球、排球等体育选修课程，规定每位学生每学年只能从中选修一项课程，大三选过的大四不能重复选，每项课程一学年完成共计80学时．现在在该学院进行乒乓球课程完成学时的调查，已知该学院本学年选修乒乓球课程大三与大四学生的人数之比为3：2，现用分层随机抽样的方法从这两个年级选修乒乓球课的数据中随机抽取100位同学的乒乓球课程完成学时，得到如下频率分布表：

成绩（单位：学时）
频数（不分年级）	3	x	21	35	33
频数（大三年级）	2	6	16	y	16

(1)求，的值；
(2)在这100份样本数据中，从完成学时位于区间的大四学生中随机抽取2份，记抽取的这2份学时位于区间的份数为，求的分布列与数学期望；
(3)已知该学院大三、大四学生选修乒乓球的概率为25%，本学年这两个年级体育选修课程学时位于的学生占两个年级总体的16%．现从该学院这两个年级中任选一位学生，若此学生本学年选修的体育课程学时位于，求他选修的是乒乓球的概率（以样本数据中完成学时位于各区间的频率作为学生完成学时位于该区间的概率，精确到0.0001）．