1 . 为推进乡村振兴计划，某镇通过实地考察当地状况，大力推广当地特色农产品.为了统计甲村，乙村生产该产品的质量，现对甲乙两村各随机选取300件产品，产品的质量如下：

	合格	不合格	合计
甲村	270	30	300
乙村	290	10	300
合计	560	40	600

(1)分析能否有的把握认为甲乙两村的产品质量有差异？
(2)该镇通过线上平台对乡村生产的产品进行售卖，经统计，该产品在年上半年的月销量符合正态分布，乡镇人员现从年的前个月中随机选取三个月的销量数据，其中销量数据不低于的记为，求随机变量的分布列和数学期望.
附：，

	0.1	0.05	0.01
k	2.706	3.841	6.635

2 . 在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年的月份”线性相关．根据统计得下表：

月份	1	2	3	4	5	6
销量	12	21	33	41	52	63

(1)根据往年的统计得，当年的月份与销量满足回归方程．请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？
(2)该销售商从当年的前6个月中随机选取3个月，记为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望．

3 . 某篮球俱乐部由篮球Ⅰ队和Ⅱ队组成.Ⅰ队球员水平相对较高，代表俱乐部参加高级别赛事；Ⅱ队是Ⅰ队的储备队，由具有潜力的运动员组成.为考察Ⅰ队的明星队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的60场与俱乐部外球队的比赛进行统计：甲在前锋位置出场12次，其中球队获胜6次；中锋位置出场24次，其中球队获胜16次；后卫位置出场24次，其中球队获胜18次.用该样本的频率估计概率，则：
(1)甲参加比赛时，求Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率；
(2)为备战小组赛，Ⅰ队和Ⅱ队进行10场热身赛，比赛没有平局，获胜得1分，失败得0分.已知Ⅰ队在每场比赛中获胜的概率是p（），若比赛最有可能的比分是7∶3，求p的取值范围；
(3)现由Ⅰ队代表俱乐部出战小组赛，小组共6支球队，进行单循环赛（任意两支队伍间均进行一场比赛），若每场比赛均派甲上场，在已知Ⅰ队至少获胜3场的条件下，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望.

4 . 某学校组织名学生去高校参加社会实践．为了了解学生性别与颜色喜好的关系，准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同．每位学生根据个人喜好领取1顶帽子，学校统计学生所领帽子的颜色，得到了如下列联表．

	红色	蓝色	合计
男	20	25	45
女	40	15	55
合计	60	40	100

(1)是否有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”；
(2)在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，
①求所选的4个箱子的标号数之和为奇数的概率；
②记所选的箱子中有对相邻序号（如：所选箱子的标号为1，2，3，5，则1，2和2，3为2对相邻序号，所以），求随机变量的分布列和数学期望．
附：，其中．

α	0.1	0.05	0.01
	2.706	3.841	6.635

5 . 箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共个，其中红球的个数为，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，……，，直到箱子中的球被摸完为止．
(1)求2号球为红球的概率（用与表示）；
(2)若，，记随机变量为最后一个红球被摸出时的编号，求；
(3)若箱子中白球、黑球的个数分别为，，求红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）的概率．

6 . 2024年5月28日，南京首家开市客超市开业，开市客超市是一家会员制超市，办了会员便可以携同伴进入购物．据统计，开业第一天人流量超过三万人，且大多组团来逛超市，如果单独一人逛超市，则视此人为单独一个团体．其中的团体拥有一张会员卡，结账时将会收到超市赠送的精美布袋一个；另外的团体拥有两张及以上会员卡，结账时将会收到超市赠送的精美布袋两个．假设每个团体之间相互独立，且将频率看做概率．
(1)随机抽取3个团体，记3个团体收到超市赠送的精美布袋总个数为，求的分布列和期望；
(2)将个团体获赠精美布袋总个数为个的事件概率记为，求；
(3)如果你是开市客超市负责人，预计某时间段有100个团体来超市购物，若以需要赠送精美布袋总个数概率最大为依据，请问你应该提前准备多少精美布袋比较合理．并与该时间段内需要赠送精美布袋总个数的期望比较大小．

7 . 为适应社会化安全宣传新形势新要求，充分发挥区域特色和示范效应，深入推进安全宣传进企业、进农村、进社区、进学校、进家庭，普及安全知识、培育安全文化，某单位用简单随机抽样的方法从，两个社区中抽取居民进行满意度调查，调查中有“满意”和“不满意”两个选项，调查的部分数据如下表所示：

社区	居民意见		合计
	满意	不满意
社区	30		45
社区			55
合计		25

(1)完成列联表，并根据相关数据判断是否有的把握认为居民满意度与所在社区有关？
(2)现从“不满意”的居民中随机抽取2位居民进行深入调研，用表示抽取的“不满意”的居民来自社区的人数，求随机变量的分布列及数学期望．
附：

	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

8 . 某技术部门需研发新型材料，研发过程中发现每次实验会得到型材料和型材料之一．为测试新型材料是否能够稳定投产，制定了以下测试规则：每一轮测试都会进行两次实验，若两次实验均得到型材料，则测试成功并停止测试；否则将加大催化剂的剂量并进行新一轮的测试．已知第轮测试中每次实验得到型材料的概率为．
(1)如果最多进行3轮测试（第三轮测试不成功也停止测试），记测试轮数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)如果最多可进行轮测试（第轮测试不成功也停止测试），记为在第，2，，轮测试成功的概率，则测试成功的概率为．
（i）求的值；
（ii）求证：．

9 . 2024年世界羽毛球男、女团体锦标赛（汤姆斯杯、尤伯杯）5日在四川成都落下帷幕，中国男女队在决赛中分别以3比1和3比0的比分战胜印度尼西亚男女队，捧起汤姆斯杯和尤伯杯．其中，中国女队是第16次捧起尤伯杯，中国男队则是第11次获得汤姆斯杯．羽毛球汤姆斯杯决赛实行五场三胜制，每场比赛采取三局两胜制，每一局比赛一方先得21分且领先至少2分则该局获胜；否则继续比赛，先领先2分的选手获胜．若双方打成29平，则先取得30分的一方直接赢得该局比赛．在整个比赛过程中，赢得一球得1分，并继续发球：否则对方得1分，并交换发球．已知在一场汤姆斯杯决赛中，若选手甲发球且甲获胜的概率为，选手乙发球且甲获胜的概率为，每一球比赛的结果相互独立．现甲、乙两名选手比赛至27平，且由甲发球．
(1)求甲共发两次球赢得比赛的概率；
(2)求甲以的比分赢得比赛的概率；
(3)记比赛结束时乙发球的次数为，求的分布列及期望．

10 . 为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得成就的了解，某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）．
(1)已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率；
(2)已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望；
(3)进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值．