1 . 现随机对件产品进行逐个检测，每件产品是否合格相互独立，且每件产品不合格的概率均为．
(1)当时，记20件产品中恰有2件不合格的概率为，求的最大值点；
(2)若这件产品中恰好有件不合格，以（1）中确定的作为的值，则当时，若以使得最大的值作为的估计值，求的估计值．

2 . 假定射手甲每次射击命中目标的概率为其中．
(1)当时，若甲射击次，命中目标的次数为．
①求；
②若其中求的值．
(2)射击积分规则如下：单次未命中目标得分，单次命中目标得分，若连续命中目标次，则其中第一次命中目标得1分，后一次命中目标的得分为前一次得分的2倍．记射手甲射击4次的总得分为，若对任意有成立，求所有满足上述条件的有序实数对．

3 . 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期，一研究团队在当地感染某一种传染病的人群中随机抽取了200名患者，其中潜伏期超过5天的患者人数为80．
(1)为了研究这200名患者中潜伏期超过5天的群体与不超过5天的群体的性别是否有显著性差异，该团队将患者按性别分成两组进行对比，人数分布如下表所示：

	潜伏期≤5天	潜伏期>5天	总计
男	67	34	101
女	53	46	99
总计	120	80	200

请根据表中数据，判断这两类人群的性别有无显著性差异（显著性水平），并说明理由；（附：，其中，）
(2)为了进一步深化研究，该团队拟在当地随机抽取名患者开展个案分析．现用200名患者中潜伏期超过5天的频率值，作为“从当地随机抽取一名患者，其潜伏期超过5天”的概率的估计值．若该团队希望事件“这n名患者中，至少有2人的潜伏期超过5天”发生的概率不低于0.9，同时为了保障个案分析的质量，考虑到时间与成本的制约，希望抽取的患者数尽可能少，则该团队应该抽取多少名患者?

4 . 生涯规划是对职业生涯乃至人生进行持续的系统的计划过程.高中选科分类是生涯规划的重要组成部分，生涯规划专业团队为某“乡村振兴县”的高中学生指导学生选科分类，生涯规划团队在该县的高一学生中随机抽取100名学生，进行选科类别与学生性别的关系研究，得到的统计数据如下列联表：（单位：名）

	男生	女生	合计
历史类	15	25	40
物理类	35	25	60
合计	50	50	100

(1)依据的独立性检验，分析学生的性别是否对选科分类有影响；
(2)生涯规划团队远过对随机抽取的100名学生中的男生的样本数据分析得到：首选物理，再选化学和地理的频率为；首选历史，再选化学和地理的频率为.以样本估计总体，频率估计概率，为进一步了解学生选科的情况，再从全校男生中用随机抽样的方法选取4名学生，记选取的4名男生中选化学和地理人数为，求的分布列和数学期望.
附，.

	0.100	0.050	0.010	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828

5 . 随着人工智能的进一步发展，逐渐进入大众视野．是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也有部分人认为会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家企业开展调查，统计每家企业一年内应用的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示：

应用广泛性	招聘人数减少	招聘人数增加	合计
广泛应用	60	50	110
没有广泛应用	40	50	90
合计	100	100	200

(1)根据小概率的独立性检验，是否有99%的把握认为企业招聘人数的增减与应用的广泛性有关？
(2)用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用的企业有X家，事件“”的概率为．求X的分布列并计算使取得最大值时k的值．
附：，其中．

	0.1	0.05	0.01
	2.706	3.841	6.635

6 . 中国首个海外高铁项目——雅万高铁全线长142.3千米，共设有哈利姆站、卡拉旺站、帕达拉朗站、德卡伯尔站4个车站，在运营期间，铁路公司随机选取了100名乘客的乘车记录，统计分析，得到下表（单位：人）：

下车站	卡拉旺站	帕达拉姆站	德卡鲁尔站	总计
哈利姆站	5	20	15	40
卡拉旺站		10	20	30
帕达拉姆站			10	30
总计	5	30	65	100

用频率代替概率，根据上表解决下列问题：
(1)在营运期间，从卡拉旺站上车的乘客中任选3人，设这3人到德卡鲁尔站下车的人数为X，求X的分布列及其数学期望；
(2)已知A地处在哈利姆站与卡拉旺站之间，A地居民到哈利姆站乘车的概率为0.4，到卡拉旺站乘车的概率为0.6（A地居民不可能在卡拉旺站下车）在高铁离开卡拉旺站时，求从哈利姆站上车的乘客来自A地的概率与从卡拉旺站上车的乘客来自A地的概率的比值．

7 . 中国哈尔滨冰雪大世界是由哈尔滨市政府为迎接千年庆典神州世纪游活动，凭借哈尔滨的冰雪时节优势，而推出的大型冰雪艺术精品工程，展示了北方名城哈尔滨冰雪文化和冰雪旅游的魅力．“南方小土豆”勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的追捧．某新闻媒体机构随机调查男、女性游客各100名，统计结果如下表所示：

	男性游客	女性游客	合计
喜欢滑雪	60	35	95
不喜欢滑雪	40	65	105
合计	100	100	200

(1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关？
(2)冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个基本滑雪动作（起步、滑行、转弯、制动）进行指导．根据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，，，，且四个基本滑雪动作是否达到优秀相互独立．若这四个基本滑雪动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号．
（ⅰ）求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率；
（ⅱ）现有一个旅游团去哈尔滨冰雪大世界游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为滑雪初学者，每个人滑雪身体条件相当，令为荣获“优秀学员”称号的人数，求的数学期望，并求这30人中多少人荣获“优秀学员”称号的概率最大．
附：，．

	0.05	0.01	0.001
	3.841	6.635	10.828

8 . 2024年2月17日晚上八点，中华人民共和国第十四届冬季运动会开幕式在内蒙古冰上运动训练中心举行，开幕式以“燃情冰雪   筑梦北疆”为主题，全程共80分钟，分为开幕仪式和文体展演两部分．开幕式融合“简约、安全、精彩”的办赛要求，整场参与表演的演员仅有约800人，通过数字技术并结合利用AR虚拟视效，将内蒙古大地的“豪情、豪迈、豪放”呈现给全国人民．多首耳熟能详的内蒙古优秀歌曲，以及那达慕、安代舞、马头琴等民俗、歌舞、器乐等表演元素，都在开幕式上呈现．文体展演之后，进行了“十四冬”主火炬点火仪式．随机调查了某社区100人观看第十四届冬季运动会开幕式的情况，得到如下所示的2×2列联表．

	看开幕式	未看开幕式	合计
男	55	10	65
女	15	20	35
合计	70	30	100

(1)根据小概率值的独立性检验，分析观看第十四届冬季运动会开幕式是否与性别有关；
(2)将频率视为概率，用样本估计总体．继续从未观看开幕式居民中抽取3人进一步的分析，记被抽取到的男性居民的人数为，求的分布列，数学期望与方差．
附表及公式：

	0.05	0.010	0.005	0.001
	3.841	6.635	7.879	10.828

其中，．

9 . 某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下：
①学生：回答n个问题，每个问题小明回答正确的概率均为；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为.
②教师：回答个问题，每个问题唐老师回答正确的概率均为.
假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜.
(1)若，，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X，求X的分布列及数学期望：
(2)若，且小明同学获胜的概率不小于，求p的最小值.

10 . 某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：

	不达标	达标	合计
男			300
女	100		300
合计		450	600

(1)完成列联表.根据小概率值的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关联？
(2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为.用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中合格的人数的分布列及期望.（对应值见下表.，）

	0.1	0.05	0.01
	2.706	3.841	6.635