1 . 某市举办了一次“诗词大赛”，分预赛和复赛两个环节，已知共有20000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下的统计数据.

得分（百分制）	[0，20)	[20，40)	[40，60)	[60，80)	[80，100]
人数	10	20	30	25	15

（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；
（2）由样本数据分析可知，该市全体参加预赛学生的预赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中间值代替），且.利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于72分的人数；
（3）预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：
①参加复赛的学生的初始分都设置为100分；
②参加复赛的学生可在答题前自己决定答题数量，每一题都需要“花”掉一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第题时“花”掉的分数为；
③每答对一题得2分，答错得0分；
④答完题后参加复赛学生的最终分数即为复赛成绩.
已知学生甲答对每道题的概率均为0.75，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量为多少时，他的复赛成绩的期望值最大？
参考数据：若，则，，

2 . 一款小游戏的规则如下：每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，一轮游戏中，若“摸出的两个都是红球”出现3次获得200积分，若“摸出的两个都是红球”出现1次或2次获得20积分，若“摸出的两个都是红球”出现0次则扣除10积分（即获得-10积分）.
（1）求每次游戏中，“摸出的两个都是红球”的概率；
（2）设每轮游戏获得的积分为，求的分布列与数学期望；
（3）玩过这款游戏的许多人发现，若干轮游戏后，与最初的积分0相比，积分没有增加反而减少了，请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象.

3 . 2020年初，新冠肺炎袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北外疫情最严重的省份之一，截止2月29日，该省已累计确诊1349例患者（无境外输入病例）.
（1）为了了解新冠肺炎的相关特征，研究人员统计了他们的年龄数据，可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄服从正态分布，请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上的患者比例；
（2）截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%，以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立，现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名密切接触者随机地按（可以取2,4,5,10）个人一组平均分组，并将同组个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的个人抽取的另一半血液逐一化验，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20人的化验总次数最少的的值.
参考数据：若～，则， ，.

4 . 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，根据结果绘制的观众日收看该体育节目时间频率分布表：

时间	[0,10）	[10,20)	[20,30)	[30,40)	[40,50)	[50,60]
频率	0.1	0.18	0.22	0.25	0.20	0.05

将日收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
（1）根据已知条件完成下面的列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？

（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从该地区大量电视观众中，采取随机抽样的方法每次抽取一名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取结果是相互独立的. 求X的分布列、期望和方差.
附：

	0.150	0.100	0. 050	0.025	0.010
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

5 . 法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000，上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000，标准差为50的正态分布.
（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000的个数为，求的分布列和数学期望；
（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468.庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：）

981	972	966	992	1010	1008	954	952	969	978
989	1001	1006	957	952	969	981	984	952	959
987	1006	1000	977	966

尽管上述数据都落在上，但庞加菜还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概率角度说明理由
附：
①若，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则由统计学知识可知：随机变量
②若，则，，；
③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.

6 . 某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为______；取出的3件产品中次品的件数的期望是______.

7 . 已知随机变量，且期望，则方差______.

8 . 某省年开始将全面实施新高考方案．在门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共个等级，各等级人数所占比例分别为、、、和，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：

原始分	91	90	89	88	87	85	83	82
转换分	100	99	97	95	94	91	88	86
人数	1	1	2	1	2	1	1	1

现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布．若，令，则，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
②现随机抽取了该省名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求取得最大值时的值．
附：若，则，．

9 . 随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每个人每日健步的步数，从而为科学健身提供一定的帮助.某市工会为了解该市市民每日健步走的情况，从本市市民中随机抽取了2000名市民（其中不超过40岁的市民恰好有1000名），利用手机计步软件统计了他们某天健步的步数，并将样本数据分为，，，，，，，，九组（单位：千步），将抽取的不超过40岁的市民的样本数据绘制成频率分布直方图如右，将40岁以上的市民的样本数据绘制成频数分布表如下，并利用该样本的频率分布估计总体的概率分布.

分组 （单位：千步）
频数	10	20	20	30	400	200	200	100	20

（1）现规定，日健步步数不低于13000步的为“健步达人”，填写下面列联表，并根据列联表判断能否有％的把握认为是否为“健步达人”与年龄有关；

	健步达人	非健步达人	总计
40岁以上的市民
不超过40岁的市民
总计

（2）（ⅰ）利用样本平均数和中位数估计该市不超过40岁的市民日健步步数（单位：千步）的平均数和中位数；
（ⅱ）由频率分布直方图可以认为，不超过40岁的市民日健步步数（单位：千步）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值），的值已求出约为.现从该市不超过40岁的市民中随机抽取5人，记其中日健步步数位于的人数为，求的数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：若，则，.

10 . 2020年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情.某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分100分)，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图.

（1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
（2）若该校所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
(i)若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数(结果四舍五入到整数)；
(ii)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机抽取3名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值.
附：若随机变量服从正态分布，则，，.