1 . 中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（       ）
附：若：，则，，．

A．0.0027

B．0.5

C．0.8414

D．0.9773

2 . 已知随机变量，且，则（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 为了验证某款电池的安全性，小明在实验室中进行试验，假设小明每次试验成功的概率为，且每次试验相互独立.
(1)若进行5次试验，且，求试验成功次数的分布列以及期望；
(2)若恰好成功2次后停止试验，，记事件：停止试验时试验次数不超过次，事件：停止试验时试验次数为偶数，求.（结果用含有的式子表示）

4 . 2024年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量，抽查了一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.

(1)根据频率分布直方图，求质量超过515克的产品数量和样本平均值；
(2)由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，计算该批产品质量指标值的概率；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过515克的产品数量，求Y的分布列和数学期望.
附：若，则，
，.

5 . 设随机变量，若，则的最大值为（       ）

A．4

B．3

C．

D．

6 . 随机变量且，随机变量，若，则（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 某型合金钢生产企业为了合金钢的碳含量百分比在规定的值范围内，检验员在同一试验条件下，每天随机抽样10次，并测量其碳含量（单位：%）.已知其产品的碳含量服从正态分布.
(1)假设生产状态正常，记表示一天内10次抽样中其碳含量百分比在之外的次数，求及的数学期望：
(2)一天内的抽检中，如果出现了至少1次检测的碳含量在之外，就认为这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.下面是在一天中，检测员进行10次碳含量（单位：%）检测得到的测量结果：

次数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
碳含量（%）	0.31	0.32	0.34	0.31	0.30	0.31	0.32	0.31	0.33	0.32

经计算得，，其中为抽取的第次的碳含量百分比.
（i）用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？
（ii）若去掉，剩下的数的平均数和标准差分别记为，试写出的算式（用表示）.
附：若随机变量服从正态分布，则..

8 . 对于，，，则，，，则（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 2022年，我国部分地区零星出现新冠疫情，为了有效快速做好爆发地区的全员核酸检测，我国专家突破难关，使得多合一混采检测情况下依然有效，即：多人的咽拭子合入一个样管进行检测．如果该样管中检测出的结果是阴性，就表示与该管相关的人检测结果都是阴性．否则，立即对该混管的多个受检者进行暂时单独隔离，并重新采集单管拭子进行复核，以确定其中的阳性者．采用多合一混采检测模式，是为了确保在发生新冠肺炎疫情时，能够短时间内完成大规模全员核酸检测工作，降低新冠前炎疫情在本地扩散风险．已知每人患病的概率为p，检测一组样本使用混管检测时，采用k人一管的检测方式并在完成检测后统计混阳管中每管阳性样本数．
(1)若，，证明：若检测结果为阳性，则很可能恰有一人为阳性；
(2)若，，以下为一次检测的阳性人数与管数的对应表，检测出阳性人数为x的管数为．

人数x	1	2	3	4	5	6
管数	23	14	7	3	2	1

（i）求其中每管阳性人数的期望；
（ii）若有，求的最小值；
（iii）对于正态分布函数，求的值．

10 . 非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分．瑞昌剪纸于2008年列入第二批国家级非物质文化遗产名录．由于瑞昌地处南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准．
(1)从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；
(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？