1 . 2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中.
(1)若，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围.

2 . 最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为．
(1)证明：；
(2)某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由．

3 . 某地的水果店老板记录了过去50天某类水果的日需求量（单位：箱），整理得到数据如下表所示.其中每箱某类水果的进货价为50元，售价为100元，如果当天卖不完，剩下的水果第二天将在售价的基础上打五折进行特价销售，但特价销售需要运营成本每箱30元，根据以往的经验第二天特价水果都能售罄，并且不影响正价水果的销售，以这50天记录的日需求量的频率作为口需求量发生的概率.

	22	23	24	25	26
频数	10	10	15	9	6

(1)如果每天的进货量为24箱，用表示该水果店卖完某类水果所获得的利润，求的平均值；
(2)如果店老板计划每天购进24箱或25箱的某类水果，请以利润的平均值作为决策依据，判断应当购进24箱还是25箱.

4 . 2022年5月以来，国际棉价小幅上涨后下行，国内棉价大幅下跌.受此影响，现有两类以棉花为主要原材料的服装，类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有40%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客；类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照7.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完.
(1)通过计算比较这两类服装单件收益的均值（收益=售价-成本）；
(2)某服装专卖店店庆当天，全场，两类服装均以会员价销售.假设每位来店购买，两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买类服装的概率为.已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设为该店当天所售服装中类服装的件数，为当天销售这两类服装带来的总收益.求的期望，以及当时，可取的最大值.

5 . 某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师办理流量套餐．为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如下：

若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频率视为概率，回答以下问题．
(1)从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月使用流量不超过300M的概率；
(2)现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：

套餐名称	月套餐费/元	月套餐流量/M
A	20	300
B	30	500
C	38	700

这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M流量，资费20元，以此类推，如果当月流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由．

6 . 2021年新高考数学试卷中对每道多选题的得分规定：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明在做多选题的第11题、第12题时通常有两种策略：
策略为避免选错只选出一个最有把握的选项．这种策略每个题耗时约3min．
策略选出自己认为正确的全部选项．这种策略每个题耗时约6min．
某次数学考试临近，小明通过前期大量模拟训练得出了两种策略下第11题和第12题的作答情况如下：
第11题：如果采用策略，选对的概率为0.8，采用策略，部分选对的概率为0.5，全部选对的概率为0.4．
第12题：如果采用策略，选对的概率为0.7，采用策略，部分选对的概率为0.6，全部选对的概率为0.3．
如果这两题总用时超过10min，其他题目会因为时间紧张少得2分．假设小明作答两题的结果互不影响．
(1)若小明同学此次考试中决定第11题采用策略、第12题采用策略，设此次考试他第11题和第12题总得分为，求的分布列．
(2)小明考前设计了以下两种方案：
方案1：第11题采用策略，第12题采用策略；
方案2：第11题和第12题均采用策略．
如果你是小明的指导老师，从整张试卷尽可能得分更高的角度出发，你赞成他的哪种方案？并说明理由．

7 . 2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组．
(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；
(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．
（参考数据：，）

8 . 在对10个同类工场的研究后，某工场获得投入与纯利润的简单随机样本数据（，2，…，10），x，y，分别表示第i个工场的投入（单位：万元）和纯利润（单位：万元）.

第i个工场	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
投入/万元	32	31	33	36	37	38	39	43	45	46
纯利润/万元	25	30	34	37	39	41	42	44	48	50

参考数据：，，，，，.
(1)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的线性相关程度；
(2)求y关于x的经验回归方程（精确到0.01）；
(3)现有甲、乙两种大型机器供工场选择，甲型机器价位是60万元，乙型机器价位是50万元，下表是甲、乙两种大型机器各30台的使用年限（整年）统计表：

	1年	2年	3年	4年	合计
甲型/台	3	12	9	6	30
乙型/台	6	12	9	3	30

据以往经验可知，每年使用任一型号都可获利润30万元，若仅考虑购置成本和每台机器的使用年限（使用年限均为整年），以频率估计概率，该工场选择买哪一款型号机器更划算？
参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据（，2，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

10 . 某市为筛查新冠病毒，需要检验核酸样本是否为阳性，现有且份核酸样本，可采用以下两种检验方式：①逐份检验：对k份样本逐份检验，需要检验k次；②混合检验：将k份样本混合在一起检验，若检验结果为阴性，则k份样本全为阴性，因而这k份样本只需检验1次；若检验结果为阳性，为了确定其中的阳性样本，就需重新采集核酸样本后再对这k份新样本进行逐份检验，此时检验总次数为k+1次.假设在接受检验的核酸样本中，每份样本的检验结果是相互独立的，且每份样本结果为阳性的概率是.
(1)若对k份样本采用逐份检验的方式，求恰好经过4次检验就检验出2份阳性的概率（结果用p表示）；
(2)若k=20，设采用逐份检验的方式所需的检验次数为X，采用混合检验的方式所需的检验次数为Y，试比较与的大小.