1 . 已知函数，其中，证明：存在，且.的根的实部全部大于0.

2 . （1）求证：已知，，，，，并指出等号成立的条件；
（2）求证：对任意的，关于的两个方程与至少有一个方程有实数根（反证法证明）；
（3）求证：使得不等式对一切实数，，都成立的充要条件是，，且.

3 . 在一个阶方阵中，记第行元素构成的集合为，第列元素构成的集合为，集合.如果一个阶方阵满足：①对任意；②对任意，都有.则称这个方阵为阶阵.
(1)已知，判断是否为阵？
(2)请你构造一个2阶阵.若你构造的，在的基础上构造一个4阶阵依据上依据上面的构造方法，在的基础上再构造一个8阶阵；
(3)是否存在奇数阶阵？如果存在，写出阶数的最小值；如果不存在，说明理由.

4 . 对于有限数列，如果，则称数列具有性质P.
(1)判断数列和是否具有性质，并说明理由;
(2)求证：若数列具有性质，则对任意互不相等的，有;
(3)设数列具有性质，每一项均为整数，，求的最小值.

5 . 素数又称质数，是指在大于的自然数中，除了和它本身以外不再有其他因数的自然数．早在多年前，欧几里德就在《几何原本》中证明了素数是无限的．在这之后，数学家们不断地探索素数的规律与性质，并取得了显著成果．中国数学家陈景润证明了“”，即“表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动．如何筛选出素数、判断一个数是否为素数，是古老的、基本的，但至今仍受到人们重视的问题．最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出．年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，他构造了一个数表
，具体构造的方法如下：中位于第行第列的数记为，首项为且公差为的等差数列的第项恰好为，其中；．请同学们阅读以上材料，回答下列问题.
(1)求；
(2)证明：；
(3)证明：
①若在中，则不是素数；
②若不在中，则是素数．

6 . 已知数列，若存在使得数列是递减数列，则称数列是“型数列”.
(1)判断数列，是否为“型数列”；
(2)若等比数列的通项公式为（），，其前项和为，且是“型数列”，求的值和的取值范围；
(3)已知，数列满足，（），若存在，使得是“型数列”，求的取值范围，并求出所有满足条件的（用表示）.

7 . 设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；.
若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集.
(1)当时，已知集合，.分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；
(2)当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；
(3)已知集合，其中.若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.

8 . 若数列的前项和为，且满足等式.
（1）求数列的通项公式；
（2）能否在数列中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由；
（3）令，记函数的图像在轴上截得的线段长为，设，求，并证明：.

9 . 设数列满足，，，设，.
（1）设，，若数列的前四项､､､满足，求；
（2）已知，，，当，，时，判断数列是否能成等差数列，请说明理由；
（3）设，，，求证：对一切的，，均有.