1 . 超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷，甚至死亡.
某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为
现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为
（1）运用概率统计的知识，若，试求关于的函数关系式；
（2）若与抗生素计量相关，其中是不同的正实数，满足，对任意的，都有
（i）证明：为等比数列；
（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值.
参考数据：，，，，，

2 . 利用数学归纳法证明“”，从推导时原等式的左边应增加的项数是________项．

3 . 已知数列满足，.
（1）求，，，并由此猜想出的一个通项公式（不需证明）；
（2）用数学归纳法证明：当时，.

4 . （1）用数学归纳法证明:当时， (且);
（2）求的值.

5 . 已知函数,设,其中,方程和方程根的个数分别为．
（1）求的值;
（2）证明:.

6 . 在用数学归纳法证明等式（）的第（ii）步中,假设（,）时原等式成立,则当时需要证明的等式为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 已知数列,为其前n项的和，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，数列的前n项和为，求证:当时；
(3)若函数的定义域为R，并且，求证.

8 . 用数学归纳法证明:.

9 . 设集合，，.
（1）求中所有元素的和，并写出集合中元素的个数；
（2）求证：能将集合分成两个没有公共元素的子集和，，使得成立.

10 . 已知数列 ，为其前项的和，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，数列的前项和为，求证：当时；
（3）（理）已知当，且时有，其中，求满足的所有的值．
（4）（文）若函数的定义域为，并且，求证．