1 . 被称为“欧拉公式”，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，则我们可以简化复数乘法．
(1)已知，求；
(2)已知O为坐标原点，，且复数在复平面上对应的点分别为，点C在上，且，求；
(3)利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下：
，所以．
类比上述过程，求出．（将表示成的式子，将表示成的式子）（参考公式：）

2 . 数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．四元数在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转．集合中的元素称为四元数，其中i,j,k都是虚数单位，d称为的实部，称为的虚部．两个四元数之间的加法定义为．
两个四元数的乘法定义为：,四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．对于四元数，若存在四元数使得，称是的逆，记为．实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W．
(1)设,四元数．记表示的共轭四元数．
（i）计算；
（ii）若，求；
（iii）若，证明：；
(2)在空间直角坐标系中，把空间向量与纯四元数看作同一个数学对象．设．
（i）证明：;
（ii）若是平面X内的两个不共线向量，证明：是X的一个法向量．

3 . 下列说法正确的是（       ）

A．在中，若，则

B．在中，若，则这样的有两个

C．若，是非零向量，则在上的投影向量为

D．若，则

4 . 已知复数（i为虚数单位）和是关于x的方程两根，

(1)求p和；
(2)若对应复平面内的点A，且是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求点B对应的复数．

5 . 在复数范围内（是虚数单位），下列选项正确的是（       ）

A．关于的方程的解为

B．复数的虚部是

C．若复数满足，则

D．已知，若是关于的方程的一个根，则

6 . 下列说法中，正确的有（       ）

A．复数满足；

B．“为钝角”是“复数在复平面内对应的点在第二象限”的充要条件；

C．已知复数“的虚部相等”是“”的必要条件

D．在复数范围内，若是关于的实系数方程的一根，则该方程的另一根是

7 . 若 ，则z （       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 设为虚数单位，，复数.且___________.请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答.
①；②；③在复平面内复数对应的点在第一象限的角平分线上.
(1)求实数的值；
(2)若是纯虚数，求实数的值.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

9 . 中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数（i为虚数单位），则__________．

10 . 人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了，17世纪法因数学家笛卡尔把i称为“虚数”，用表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z满足方程，则（       ）

A．

B．

C．

D．