1 . （1）对实系数的一元二次方程可以用求根公式求复数范围内的解，在复数范围解方程
；
（2）对一般的实系数一元三次方程
（
），由于总可以通过代换
消去其二次项，就可以变为方程
．在一些数学工具书中，我们可以找到方程
的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数学家卡尔丹（J. Cardan）的名字命名的．卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程可以变形为
，把未知数
写成两数之和
，再把等式
的右边展开，就得到
，即
．将上式与相对照，得到
，把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方，
，并把
与
看成未知数，解得
于是，方程一个根可以写成
．
阅读以上材料，求解方程
．
；（2）对一般的实系数一元三次方程
（），由于总可以通过代换消去其二次项，就可以变为方程．在一些数学工具书中，我们可以找到方程的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数学家卡尔丹（J. Cardan）的名字命名的．卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程可以变形为，把未知数写成两数之和，再把等式的右边展开，就得到，即．将上式与相对照，得到，把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方，，并把与看成未知数，解得于是，方程一个根可以写成．阅读以上材料，求解方程
．
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2 . 对一般的实系数一元三次方程
，由于总可以通过代换消去其二次项，就可以变为方程．在一些数学工具书中，我们可以找到方程的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数学家卡尔丹（J.Cardan）的名字命名的．
卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程可以变形为，把未知数x写成两数之和，再把等式的右边展开，就得到，即．将上式与相对照，得到
，把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方，
，并把与看成未知数，解得
，于是，方程一个根可以写成．
阅读以上材料，求解方程．
，由于总可以通过代换消去其二次项，就可以变为方程．在一些数学工具书中，我们可以找到方程的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数学家卡尔丹（J.Cardan）的名字命名的．卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程
可以变形为，把未知数x写成两数之和，再把等式的右边展开，就得到，即．将上式与相对照，得到，把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方，，并把与看成未知数，解得，于是，方程一个根可以写成．阅读以上材料，求解方程
．
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名校
解题方法
3 . （1）计算
；
（2）已知关于的方程
有实数解，求纯虚数
.
；（2）已知关于
的方程有实数解，求纯虚数.
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名校
4 . （1）计算：
的值；
（2）在复数范围内解关于的方程：
；
（3）设复数
，
满足
，
，求
的值.
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解题方法
5 . 1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元
次多项式方程在复数域上至少有一根（
）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：次复系数多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算）.对于次复系数多项式
，其中
，
，
，若方程
有个复根
，则有如下的高阶韦达定理：
(1)在复数域内解方程
；
(2)若三次方程
的三个根分别是
，
，
（
为虚数单位），求
，
，
的值；
(3)在
的多项式中，已知
，
，
，为非零实数，且方程的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含的式子表示）.
次多项式方程在复数域上至少有一根（）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：次复系数多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算）.对于次复系数多项式，其中，，，若方程有个复根，则有如下的高阶韦达定理：(1)在复数域内解方程
；(2)若三次方程
的三个根分别是，，（为虚数单位），求，，的值；(3)在
的多项式中，已知，，，为非零实数，且方程的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含的式子表示）.
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名校
解题方法
6 . 已知
是复数，
与
均为实数.
(1)求
；
(2)若复数是方程
的一个解，求
的值.
是复数，与均为实数.(1)求
；(2)若复数
是方程的一个解，求的值.
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2024-05-09更新
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368次组卷
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3卷引用：福建省泉州第五中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
福建省泉州第五中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（已下线）专题06 复数-期末考点大串讲（人教B版2019必修第四册）江苏省宿迁市泗阳县两校联考2023-2024学年高一下学期第二次学情调研（5月月考）数学试题
2024高三·全国·专题练习
7 . 下面是应用公式
，求最值的三种解法，答案却各不同，哪个解答错？错在哪里？已知复数为纯虚数，求
的最大值.
解法一：∵
，
又∵是纯虚数，令
（
且
），
∴
.
故当
时，即当
时，所求式有最大值为
.
解法二：∵
，∴
.
故所求式有最大值为
.
解法三：∵
，
又∵为纯虚数，∴
，
∴
.
故所求式有最大值为
.
，求最值的三种解法，答案却各不同，哪个解答错？错在哪里？已知复数为纯虚数，求的最大值.解法一：∵
，又∵
是纯虚数，令（且），∴
.故当
时，即当时，所求式有最大值为.解法二：∵
，∴.故所求式有最大值为
.解法三：∵
，又∵
为纯虚数，∴，∴
.故所求式有最大值为
.
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名校
解题方法
8 . 已知复数、是方程
的解．
(1)
的值；
(2)若复平面内表示的点在第三象限，
为纯虚数，其中
，求的值．
、是方程的解．(1)
的值；(2)若复平面内表示
的点在第三象限，为纯虚数，其中，求的值．
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2023-07-28更新
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349次组卷
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4卷引用：FHsx1225yl191
（已下线）FHsx1225yl191（已下线）【高一模块二】类型3 以复数为背景的解答题（B卷提升卷）山东省临沂市罗庄区2022-2023学年高一下学期期中数学试题江西省萍乡市安源中学2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题
解题方法
9 . 已知复数是方程
的解，
(1)求
；(2)若
，且
（
，为虚数单位），求
．
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2023-03-02更新
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561次组卷
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5卷引用：7.2.2复数的乘、除运算（第2课时）
（已下线）7.2.2复数的乘、除运算（第2课时）上海市民办丰华高级中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题（已下线）专题强化 复数高频考点一遍过精练必刷题-2022-2023学年高一数学《考点·题型·技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第二册）浙江省温州新力量联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题（已下线）核心考点02复数（2）
名校
解题方法
10 . 在英语中，实数是Real Quantity，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Quantity，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.如：
.已知复数
是方程
的解.
(1)若
，求证
；
(2)若
，复数
且满足
，在复平面内对应的点为
，当
取得最大值时，求点的坐标.
.已知复数是方程的解.(1)若
，求证；(2)若
，复数且满足，在复平面内对应的点为，当取得最大值时，求点的坐标.
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