1 . 物理的简洁美、统一美和谐而浪漫。让我们一起来欣赏物理的美丽吧！
（1）地面附近一物体质量为m，从空中A点自由下落到地面上B点处，下落高度为h，地球质量为M，半径为R。试求在该过程中，重力势能变化量和引力势能变化量的表达式。忽略地球自转，已知从无穷远处移动质量为m的物体到距离地心为r处，万有引力做功，说明在什么情况下满足。
（2）劲度系数为k₁的轻质弹簧上端固定，下端连一可视为质点的小物块，若以小物块的平衡位置为坐标原点O，以竖直向下为正方向建立坐标轴Ox，如图所示，用x表示小物块由平衡位置向下发生的位移。系统的总势能为重力势能与弹性势能之和。请你结合小物块的受力特点和求解变力做功的基本方法，以平衡位置为系统总势能的零势能参考点，推导小物块振动位移为x时系统总势能E_p的表达式。
（3）如图所示，质量分别为m₁、m₂的小球A、B以不同速度v₁、v₂同向运动， A 追上B并碰撞的过程中的作用力假定为恒力 F，作用时间为t，碰撞后两者速度分别为 、。请利用动量定理，寻找碰撞中的不变量，并予以证明。
   

2 . 如图甲所示，把小球安装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球和弹簧穿在光滑的水平杆上。小球振动时，沿垂直于振动方向以速度v匀速拉动纸带，纸带上可以留下痕迹，a、b是纸带上的两点，不计阻力，如图乙所示。根据此实验，下列说法正确的是（　　）
      

A．t时间内小球运动的路程为

B．小球通过a点的速度小于通过b点的速度

C．小球和弹簧组成的系统机械能守恒

D．减小小球振动的振幅，其周期也会减小

4 . 如图所示，光滑水平面上放有一个弹簧振子，已知振子滑块的质量，弹簧劲度系数为，将振子滑块从平衡位置O向左移，由静止释放后在B、C间运动，设弹簧的弹性势能表达式为，问：
（1）滑块的加速度的最大值为多少？
（2）求滑块的最大速度。
（3）滑块完成5次全振动时走过的路程s。
   

5 . 简谐运动是我们研究过的一种典型运动形式。
（1）如图1所示，将两个劲度系数分别为k₁和k₂的轻质弹簧套在光滑的水平杆上，弹簧的两端固定，中间接一质量为m的小球，此时两弹簧均处于原长。现将小球沿杆拉开一段距离后松开，小球以O为平衡位置往复运动。请你结合回复力的知识证明，小球所做的运动是简谐运动。
（2）做简谐运动的质点，其运动速度v与其偏离平衡位置的位移x之间的关系可以表示为，其中v₀为振动质点通过平衡位置时的瞬时速度，c为由系统本身和初始条件所决定的不变的常数。将图1中质量为m的小球视为质点，两个轻质弹簧的劲度系数分别为k₁和k₂，小球通过平衡位置O时的速度大小为v₀。设小球振动位移为x时的速度为v，请你应用能量的知识证明小球的运动满足的关系，并说明常数c与哪些物理量有关。
（提示：弹簧的弹性势能可以表达为，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量）
（3）如图2所示，一质点以大小为v₀的线速度绕O点做匀速圆周运动，半径为R₀，请根据运动学知识以并结合第（2）问中的信息分析证明：做匀速圆周运动的质点在圆的直径上的分运动是简谐运动。
   

6 . 如图1所示，把一个质量为m、有小孔的小球连接在劲度系数为k的轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球套在光滑的杆上，小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子。开始时弹簧处于原长，在小球运动过程中弹簧形变始终在弹性限度内，忽略空气阻力的影响。
（1）把小球拉向右方，然后由静止释放，小球将在平衡位置附近往复运动。若以小球的平衡位置为坐标原点O，以水平向右为正方向建立坐标轴Ox，用x表示小球在平衡位置附近往复运动的位移。
a．请在图2中画出弹簧弹力F随x变化的示意图；
b．已知小球经过平衡位置时速度大小为v，求小球由静止释放后第一次运动至平衡位置的过程中，弹簧弹力对小球做的功W。
（2）让静止在平衡位置的小球突然获得向左的初速度，开始在平衡位置附近振动。已知振动过程的振幅为A，弹簧振子的振动周期。为了求得小球获得的初速度大小，某同学的解法如下：设向左压缩弹簧过程中弹簧的平均作用力大小为F，
由动能定理可知①
由动量定理可知②
小球由平衡位置向左运动压缩弹簧至最短的过程所用时间③
联立①②③式，可得
a．请指出这位同学在求解过程中的错误；
b．借助图像可以确定弹力做功的规律，在此基础上，请正确求解出小球初速度大小；
c．弹簧振子在运动过程中，求弹簧弹力对小球做正功时，其瞬时功率P的最大值。
       

7 . 如图甲所示，把小球安装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球和弹簧穿在光滑的水平杆上。小球振动时，沿垂直于振动方向以速度匀速拉动纸带，纸带上可留下痕迹，、是纸带上的两点，不计阻力，如图乙所示。由此可判断（　　）

A．时间内小球的运动路程为

B．小球和弹簧组成的系统机械能在点多

C．小球通过点时的速度大于通过点的速度

D．如果小球以较小的振幅振动，周期也会变小

8 . 物理学中，牛顿运动定律揭示了力和运动有着密切的关系，而做功既是力的空间累积效果，又是能量转化的量度。因此在研究某些运动时，可以先分析研究对象的受力，进而研究其能量问题。已知重力加速度为g，在下述情境中，均不计空气阻力。
（1）劲度系数为k的轻质弹簧上端固定，下端连一可视为质点的小物块，若以小物块受力平衡的位置为坐标原点O，建立正方向竖直向下的坐标轴，如图所示，x为小物块由平衡位置向下发生的位移。请表示出小物块的合力F与位移x的关系式，并据此证明小物块的运动是简谐运动；
（2）请你结合小物块的受力特点和求解变力功的方法，求出小物块从平衡位置开始发生位移x的过程中动能变化量；
（3）系统的总势能为重力势能与弹性势能之和，若取平衡位置为系统总势能的零势能参考点，请结合能量守恒的思想写出小物块位移为x时系统总势能的表达式；
（4）已知此简谐运动的振幅为A，求小物块在振动位移为时的动能（用A和k表示）。

10 . 物理学中，力与运动关系密切，而力的空间累积效果——做功，又是能量转化的量度。因此我们研究某些运动时，可以先分析研究对象的受力特点，进而分析其能量问题。已知重力加速度为g，且在下列情境中，均不计空气阻力。
（1）劲度系数为k的轻质弹簧上端固定，下端连一可视为质点的小物块，若以小物块的平衡位置为坐标原点O，以竖直向下为正方向建立坐标轴，如图所示，用x表示小物块由平衡位置向下发生的位移。
a．求小物块的合力F与x的关系式，并据此证明小物块的运动是简谐运动；
b．系统的总势能为重力势能与弹性势能之和。请你结合小物块的受力特点和求解变力功的基本方法，以平衡位置为系统总势能的零势能参考点，推导小物块振动位移为x时系统总势能的表达式。
（2）若已知此简谐运动的振幅为A，求小物块在振动位移为时的动能（用A和k表示）