1 . 已知函数
．
(1)求证函数
为奇函数；
(2)判断在区间
上的单调性，并用定义进行证明；
(3)求在区间[2,6]上的最大值与最小值.
．(1)求证函数
为奇函数；(2)判断
在区间上的单调性，并用定义进行证明；(3)求
在区间[2,6]上的最大值与最小值.
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名校
2 . 集合
是由
个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素
之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合
为“可分集合”．
(1)判断集合
、
是否为“可分集合”（不用说明理由）；
(2)求证：五个元素的集合
一定不是“可分集合”；
(3)若集合
是“可分集合”，证明
是奇数．
是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”．(1)判断集合
、是否为“可分集合”（不用说明理由）；(2)求证：五个元素的集合
一定不是“可分集合”；(3)若集合
是“可分集合”，证明是奇数．
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名校
解题方法
3 . 已知函数
的图象过点
和
.
(1)求证：是奇函数，并判断的单调性（不需要证明）；
(2)若
，使得不等式
都成立，求实数
的取值范围.
的图象过点和.(1)求证：
是奇函数，并判断的单调性（不需要证明）；(2)若
，使得不等式都成立，求实数的取值范围.
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解题方法
4 . 已知函数
，
.
(1)判断
的奇偶性，并证明；
(2)求证：在
上是减函数；
(3)解不等式：
.
，.(1)判断
的奇偶性，并证明；(2)求证：
在上是减函数；(3)解不等式：
.
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名校
5 . 已知集合为非空数集，定义
.
(1)若集合
，请证明
，并直接写出集合
；
(2)若
且
，集合
，求的最小值；
(3)若集合
，且
，求证：
.
为非空数集，定义.(1)若集合
，请证明，并直接写出集合；(2)若
且，集合，求的最小值；(3)若集合
，且，求证：.
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名校
6 . 已知函数
.
(1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
(2)定义证明函数在
上是增函数；
(3)写出函数在
上的单调性（结论不要求证明）.
.(1)判断函数
的奇偶性，并证明你的结论；(2)定义证明函数
在上是增函数；(3)写出函数
在上的单调性（结论不要求证明）.
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名校
解题方法
7 . 已知函数
．
(1)求证：是奇函数；
(2)判断在上的单调性，并证明；
(3)已知关于
的不等式
恒成立，求实数的取值范围．
．(1)求证：
是奇函数；(2)判断
在上的单调性，并证明；(3)已知关于
的不等式恒成立，求实数的取值范围．
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2023-11-09更新
|
940次组卷
|
2卷引用：广东省广州市育才中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题
名校
8 . 设函数的定义域为
，对于区间
（
，
），若满足以下两条性质之一，则称
为的一个“美好区间”.性质①：对任意
，有
；性质②：对任意，有
.
(1)判断并证明区间
是否为函数
的“美好区间”；
(2)若
（
）是函数
的“美好区间”，试求实数
的取值范围；
(3)已知定义在
上，且图像连续不断的函数满足：对任意
（），有
.求证：存在“美好区间”，且存在
，使得
不属于的任意一个“美好区间”.
的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称为的一个“美好区间”.性质①：对任意，有；性质②：对任意，有.(1)判断并证明区间
是否为函数的“美好区间”；(2)若
（）是函数的“美好区间”，试求实数的取值范围；(3)已知定义在
上，且图像连续不断的函数满足：对任意（），有.求证：存在“美好区间”，且存在，使得不属于的任意一个“美好区间”.
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名校
9 . 若函数
的定义域为，且对于任意的
、
，“
”的充要条件是“
”，则称函数为上的“单值函数”.对于函数
，记
，
，
，…，
，其中
，2，3，…，并对任意的
，记集合
，并规定
.
(1)若
，函数的定义域为
，求
和
；
(2)若函数的定义域为，且存在正整数，使得对任意的
，
，求证：函数为上的“单值函数”；
(3)设
，若函数的定义域为
，且表达式为：
判断是否为上的“单值函数”，并证明对任意的区间
，存在正整数，使得
.
的定义域为，且对于任意的、，“”的充要条件是“”，则称函数为上的“单值函数”.对于函数，记，，，…，，其中，2，3，…，并对任意的，记集合，并规定.(1)若
，函数的定义域为，求和；(2)若函数
的定义域为，且存在正整数，使得对任意的，，求证：函数为上的“单值函数”；(3)设
，若函数的定义域为，且表达式为：判断
是否为上的“单值函数”，并证明对任意的区间，存在正整数，使得.
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名校
10 . 已知函数
的图像过点
．
(1)求实数的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明．
(3)求证：函数
在
上是减函数；
的图像过点．(1)求实数
的值；(2)判断函数的奇偶性并证明．
(3)求证：函数
在上是减函数；
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