名校
1 . 已知实数R的子集均满足规律:,已知数集具有性质P:对任意的,与 两数中至少有一个属于A(如与中至少有一个属于A).
(1)求证:集合不可能为单元素集;
(2)分别判断数集与是否具有性质P,并说明理由;
(3)数集A中的_____集合(选填“”或“”),请写出一个自然数:________,使其不可能属于集合;
(4)证明:.
(1)求证:集合不可能为单元素集;
(2)分别判断数集与是否具有性质P,并说明理由;
(3)数集A中的_____集合(选填“”或“”),请写出一个自然数:________,使其不可能属于集合;
(4)证明:.
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2 . 已知a、b、c为正实数,且a、b、c均不等于1,
(1)求证:;
(2)设,,,为正实数且(且),请把(1)中结论进行推广,并证明.
(1)求证:;
(2)设,,,为正实数且(且),请把(1)中结论进行推广,并证明.
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解题方法
3 . 已知集合是满足下列性质的函数的全体:存在非零常数,对任意,有成立.
(1)函数,其中,判断是否属于集合?说明理由;
(2)设函数,其中(且),若函数的图像与的图像有公共点,证明:.
(3)求证函数(且)不属于集合.
(1)函数,其中,判断是否属于集合?说明理由;
(2)设函数,其中(且),若函数的图像与的图像有公共点,证明:.
(3)求证函数(且)不属于集合.
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4 . 设是非空实数集,且.若对于任意的,都有,则称集合具有性质;若对于任意的,都有,则称集合具有性质.
(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合,并证明;
(2)若非空实数集具有性质,求证:集合具有性质;
(3)设全集,是否存在具有性质的非空实数集,使得集合具有性质?若存在,写出这样的一个集合;若不存在,说明理由.
(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合,并证明;
(2)若非空实数集具有性质,求证:集合具有性质;
(3)设全集,是否存在具有性质的非空实数集,使得集合具有性质?若存在,写出这样的一个集合;若不存在,说明理由.
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5 . 已知函数.
(1)求证函数为奇函数;
(2)判断在区间上的单调性,并用定义进行证明;
(3)求在区间[2,6]上的最大值与最小值.
(1)求证函数为奇函数;
(2)判断在区间上的单调性,并用定义进行证明;
(3)求在区间[2,6]上的最大值与最小值.
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解题方法
6 . 若非零函数对任意x,y均有,且当时,.
(1)求,并证明;
(2)求证:为上的减函数;
(3)当时,对时恒有,求实数的取值范围.
(1)求,并证明;
(2)求证:为上的减函数;
(3)当时,对时恒有,求实数的取值范围.
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7 . 集合是由个正整数组成的集合,如果任意去掉其中一个元素之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合为“可分集合”.
(1)判断集合、是否为“可分集合”(不用说明理由);
(2)求证:五个元素的集合一定不是“可分集合”;
(3)若集合是“可分集合”,证明是奇数.
(1)判断集合、是否为“可分集合”(不用说明理由);
(2)求证:五个元素的集合一定不是“可分集合”;
(3)若集合是“可分集合”,证明是奇数.
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8 . 已知集合为非空数集,定义.
(1)若集合,请证明,并直接写出集合;
(2)若且,集合,求的最小值;
(3)若集合,且,求证:.
(1)若集合,请证明,并直接写出集合;
(2)若且,集合,求的最小值;
(3)若集合,且,求证:.
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名校
9 . 已知函数.
(1)判断函数的奇偶性,并证明你的结论;
(2)定义证明函数在上是增函数;
(3)写出函数在上的单调性(结论不要求证明).
(1)判断函数的奇偶性,并证明你的结论;
(2)定义证明函数在上是增函数;
(3)写出函数在上的单调性(结论不要求证明).
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名校
10 . 设函数的定义域为,对于区间(,),若满足以下两条性质之一,则称为的一个“美好区间”.性质①:对任意,有;性质②:对任意,有.
(1)判断并证明区间是否为函数的“美好区间”;
(2)若()是函数的“美好区间”,试求实数的取值范围;
(3)已知定义在上,且图像连续不断的函数满足:对任意(),有.求证:存在“美好区间”,且存在,使得不属于的任意一个“美好区间”.
(1)判断并证明区间是否为函数的“美好区间”;
(2)若()是函数的“美好区间”,试求实数的取值范围;
(3)已知定义在上,且图像连续不断的函数满足:对任意(),有.求证:存在“美好区间”,且存在,使得不属于的任意一个“美好区间”.
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