1 . 设，函数.
(1)若，求证：函数是奇函数；
(2)若，判断并证明函数的单调性；
(3)设，，若存在实数m，n（），使得函数在区间[m，n]上的取值范围是，求的取值范围.

2 . 设，函数．
（1）已知，求证：函数为定义域上的奇函数；
（2）已知．
（i）判断并证明函数的单调性；
（ii）函数在区间上的值域是，求的取值范围．

3 . 已知函数，而函数的图象与的图象关于轴对称.
（1）直接写出函数的解析式；
（2）令.判断函数的奇偶性并证明；
（3）求证：函数是定义域上的增函数.

4 . 已知函数.
（1）若，求证：函数是偶函数；
（2）若，用定义证明函数在上单调递增；
（3）是否存在实数，使得在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

5 . 已知函数．
（1）求的定义域、值域并写出其单调区间及单调性（不要求证明）；
（2）判断并用定义证明函数在区间上的单调性．

6 . 设函数的定义域分别为，且.若对于任意，都有，则称是在上的一个延拓函数.给定.
（1）若是在上的延拓函数，且为奇函数，求的解析式.
（2）设为在上的任意一个延拓函数，且是上的单调函数，试判断函数在上的单调性，并加以证明.
（3）在（2）的条件下，设，求证：
（4）在（2）的条件下，求证：关于的不等式有解.

7 . 已知函数，当时，恒有．当时，．
（1）求证：是奇函数；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）是否存在m，使对于任意恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

8 . 已知定理：“若a，b为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”，设函数，定义域为A.
（1）试证明的图象关于点成中心对称；
（2）当时，求证：.
（3）对于给定的，设计构造过程：.如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止.若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值.

9 . 已知函数对任意，总有，且当时， ，，
(Ⅰ)求证：函数是奇函数；
(Ⅱ)利用函数的单调性定义证明，在上的单调递减；
(Ⅲ)若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围.

10 . 求证：是非奇非偶函数，证明如下： ，这种证法正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请给出正确的证法.