1 . 已知函数（a＞0，且）在上的最大值与最小值之和为20，记.
(1)求a的值；
(2)求证：为定值；
(3)求的值.

2 . 设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得.
(1)求证：为奇函数；
(2)求证：在上单调递增；
(3)设函数，，不等式对恒成立，试求的值域.

3 . 已知函数的定义域为，对定义域内任意实数x，y恒有，且．
(1)求的值；
(2)判断的奇偶性，并证明；
(3)若在上单调递减且连续．
（i）证明：在存在唯一的零点；
（ii）求不等式的解集．

4 . 已知函数．
(1)判断在上的单调性，并用定义加以证明；
(2)设函数，若，，，求a的取值范围．

5 . 设函数的定义域是，且对任意正实数x，y都有恒成立，已知，且当时，.
(1)求的值；
(2)判断在区间内的单调性，并给出证明；
(3)解不等式.

6 . 已知，是的反函数．
(1)若，求的最小值；
(2)设，若有两个不等正根，，求证：且．

7 . 对于函数，当时，的取值范围是，则称为的“倍跟随区间”，当时，称是函数的“保值区间”.
(1)求证：是函数的一个“保值区间”；
(2)求证：函数不存在“保值区间”；
(3)若函数存在“倍跟随区间”，求的取值范围.

8 . 已知函数是定义域上的奇函数.
（1）确定的解析式；
（2）用定义证明：在区间上是减函数；
（3）解不等式.

9 . 已知函数，对任意a，恒有，且当时，有．
Ⅰ求；
Ⅱ求证：在R上为增函数；
Ⅲ若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数t的取值范围．

10 . 如果函数满足：对定义域内的所有，存在常数，，都有，那么称是“中心对称函数”，对称中心是点.
（1）证明点是函数的对称中心；
（2）已知函数（且，）的对称中心是点.
①求实数的值；
②若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围.