1 . 早在15世纪，达・芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图1，先制作三张一样的黄金矩形，然后从长边的中点出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即，再沿着与长边平行的方向剪出相同的长度，即，将这三个矩形穿插两两垂直放置，连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图2.若黄金矩形的短边长为4，则按如上制作的正二十面体的表面积为______，其外接球的表面积为______.

2 . 某保鲜封闭装置由储物区与充氮区（内层是储物区用来放置新鲜易变质物品，充氮区是储物区外的全部空间，用来向储物区输送氮气从而实现保鲜功能）．如图所示，该装置外层上部分是半径为2半球，下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合，内层是一个高度为4的倒置小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，为了保存更多物品，充氮区空间最小可以为（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 如图，一个三棱柱的容器盛有水，水的体积是三棱柱体积的，现将其侧面放置于水平地面，水面恰好经过底边上的点，则的值为（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 下列结论正确的是（       ）

A．存在这样的四面体，四个面都是直角三角形

B．存在这样的四面体，

C．存在不共面的四点､､､，使

D．存在不共面的四点､､､，使

5 . “斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示．其可近似看作正四棱台，上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，高为．“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 碌碡（liùzhóu）是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 如图，过点分别作直线与，其中直线与圆交于不同的两点A，B，直线与圆C相切于点Q．

（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）若，求．

8 . 若四棱锥的底面为矩形，则（       ）

A．四个侧面可能都是直角三角形

B．平面与平面的交线与直线，都平行

C．该四棱锥一定存在内切球

D．该四棱锥一定存在外接球

9 . 如图（1），平面四边形中，，，，将沿边折起如图（2），使________，点，分别为，中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．①．②为四面体外接球的直径．③平面平面．

（1）判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
（2）求三棱锥的体积．

10 . 在空间直角坐标系中，以坐标原点为圆心，为半径的球体上任意一点，它到坐标原点的距离，可知以坐标原点为球心，为半径的球体可用不等式表示．还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示，记满足的不等式组表示的几何体为．
（1）当表示的图形截所得的截面面积为时，求实数的值；
（2）请运用祖暅原理求证：记满足的不等式组所表示的几何体，当时，与的体积相等，并求出体积的大小．（祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等）