1 . 如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则线段长度的最小值为______．

   

2 . 已知正三棱锥的侧棱长为3，．过顶点作底面的垂线，垂足为，过点作侧面的垂线，垂足为，过点作平面的垂线，垂足为，连接相关线段形成四面体，则四面体的外接球的表面积为______________．

3 . 近年我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破，载人航天、探月探火、深海深地探测、超级计算机、卫星导航、量子信息等都取得重大成果．如图正方体为制作某深海探测器零件的新型材料，其棱长为2厘米，制作中要用与正方体内切球相切的平面去裁切正方体的一个角，要求截面为正三角形．若正方体八个角都做这样的裁切，则所剩几何体体积为______．

4 . 底边和腰长之比为的等腰三角形被称为“黄金三角形”，四个面都为“黄金三角形”的四面体被称为“黄金四面体”.“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为______.

5 . 如图，已知四面体，和是边长为2的正三角形，，是该四面体表面及其内部的动点．若，，则点轨迹的长度为______；若在内（含边界）且，则点轨迹的长度为______．

6 . 地球仪是地理教学中的常用教具.如图1所示，地球仪的赤道面(与转轴垂直)与黄道面(与水平面平行)存在一个夹角，即黄赤交角，大小约为23.5°.为锻炼动手能力，某同学制作了一个半径为4cm的地球仪(不含支架)，并将其放入竖直放置的正三棱柱中(姿态保持不变)，使地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，如图2所示.此时平面恰与地球仪的赤道面平行，则三棱柱的外接球体积为___________.(参考数据：)