1 . 在△中，三内角、、的对边分别为、、，满足.
（1）证明：△为直角三角形；
（2）当，时，设表示成的形式，并写出定义域；
（3）对（2）中函数，当为何值时，有最值？并求出最值.

2 . 已知中，．

（I）求B的大小；
（II）已知，，若D、E是边BC上的点，使，求当△ADE面积的最小时，∠BAD的大小．

3 . 2021年3月25日《人民日报》报道：“作为世界最大棉花消费国、第二大棉花生产国，我国2020-2021年度棉花产量约万吨．其中，新疆棉产量万吨，占国内总产量约．除了新疆，河南、河北、山东、湖北等也是我国的棉花主要产地．”某公司为响应国家扶贫号召，为某小型纺织工厂提供资金和技术的支持，并搭建销售平台．现该公司为该厂提供新疆棉吨，河南棉吨．该工厂打算生产两种不同类型的抱枕，款抱枕需要新疆棉，河南棉，款抱枕需要新疆棉，河南棉，且一个款抱枕的利润为元，一个款抱枕的利润为元．假设工厂所生产的抱枕可全部售出．
（1）求工厂生产款抱枕和款抱枕各多少个时，可获得最大利润，最大利润是多少？
（2）若工厂有两种销售方案可供选择，方案一：自行出售抱枕，则所获利润需上缴公司；方案二：由公司代售，则公司不分抱枕类型，让工厂每个抱枕获得元的利润．请问该工厂选择哪种方案更划算？请说明理由．

4 . 数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，也是应用数学解决实际问题的基本手段．某中学程老师根据实际情境提出如下问题：有一家具，其水平截面如图所示（各邻边垂直）．一房间的门框宽（即房门两边墙之间距离）为0.9米，门框厚为0.28米，思考能否将家具水平移入房内．（注：门框高度及房内外空间不受限制，且移动时均不发生形变．）

（1）如图，（米），在移动家具时，为顺利过门，家具的两个边，紧贴，，设直线和直线的夹角为，家具的初始位置对应，与重合时可视为移动成功，延长交于点，设（米），请写出关于的函数

（2）基于（1），请问家具能否移动成功？并说明理由．

5 . 如图，平面四边形是某公园的一块草地，为方便市民通行，该公园管理处计划在草地中间修一条石路（不考虑石路的宽度），．

（1）求该草地的面积；
（2）求石路的长度．

6 . 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，若的边长为﹐且，则的面积为___________.

7 . 缉私船在A处测出某走私船在方位角为(航向)，距离为10海里的C处，并测得走私船正沿方位角的方向以9海里/时的速度沿直线方向航行逃往相距27海里的陆地D处，缉私船立即以v海里/时的速度沿直线方向前去截获.(方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角)

（1）若，求缉私船航行的方位角正弦值和截获走私船所需的时间；
（2）缉私船是否有两种不同的航向均恰能成功截获走私船？若能，求v的取值范围，若不能请说明理由.

8 . 如图在小岛的正北方向上的处有一艘货轮，为了躲避礁石，该货轮沿南偏西的方向航行，小岛有一艘快艇沿北偏西角方向行驶给货轮运送补给，双方无线电约定在点处完成补给.货轮得到补给后将原航行方向顺时针旋转向地运送物资.

（1）如图，若地恰好在小岛的正西方向上，满足，求两地的距离和的正切值；
（2）如图，若地恰好在小岛的西偏南方向上，记，令，计算当时，的值；
（3）如图，设的面积为，计算当时，的值.

9 . 在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；

10 . 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（       ）

A．346

B．373

C．446

D．473