1 . 黄金三角形被誉为“最美三角形”，是较短边与较长边之比为黄金比（即）的等腰三角形、已知，，的角平分线与边交于点，线段的中垂线过点，则的比值为_____________.

2 . 在扇形中，圆心角，半径，点在弧上（不包括端点），设.

(1)求四边形的面积关于的函数解析式；
(2)求四边形的面积的取值范围；
(3)托勒密所著《天文学》第一卷中载有弦表，并且讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：在圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.先分别在线段，上取点，，使得为等边三角形，求面积的最小值.

3 . 早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）（     ）

       

A．

B．

C．

D．

4 . 如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高，无人机的航线与塔在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为，在处测得塔底（即小山的最高处）的俯角为，塔顶的俯角为，向山顶方向沿水平线飞行到达处时，测得塔底的俯角为，则该座小山的海拔为_______；古塔的塔高为_______．

5 . 第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本）
(1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？
(2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值.

6 . 折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 若为等差数列，为其前项的和，则下列说法中一定成立的是（       ）

A．	B．存在，使得
C．若，则	D．是等差数列

8 . 已知等差数列中，，公差，前项和为，则（       ）

A．数列为等差数列

B．当时，值取得最大

C．存在不同的正整数，，使得

D．所有满足的正整数，中，当，时，值最大

9 . 在苏教版选择性必修第一册P178的阅读材料中，由一个有趣的兔子问题引出了斐波那契数列，并根据规律得到了递推关系式：．现在，我们也来尝试从下列两个问题中找出类似的数列．
问题1：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级或两级．如果楼梯有级，那么他有多少种走法？
分析：我们记楼梯有级时的不同走法数为，显然，，
问题2：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级、两级或三级．如果楼梯有级，那么他有多少种走法？
分析：我们记楼梯有级时的不同走法数为，显然，，
请分别就上述两个问题，写出数列的第四项和第五项，并根据规律写出一个递推关系式．

10 . 某校决定投资建一个形状为长方体的体育器材室，高度为3米，底面面积为36平方米，它的后墙利用旧围墙改造（面积足够用），改造费用为每平方米4百元，正面用防火板建造，防火板每平方米造价为8百元，两侧墙用砖建造，每平方米造价为6百元，顶部每平方米造价为3百元，下底费用不计．
(1)求器材室总造价（百元）关于器材室的正面长（米）的函数关系式；
(2)应怎样设计才能使器材室总造价最低，并求出总造价的最小值．