名校
1 . 古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明“如图，
为线段
中点，
为上的一点.以为直径作半圆，过点作的垂线，交半圆于
.连结
，
，
，过点作的垂线，垂足为
.设
，
，则图中线段
，线段
，线段________ 
；由该图形可以得出
，
，
的大小关系为__________ .
为线段中点，为上的一点.以为直径作半圆，过点作的垂线，交半圆于.连结，，，过点作的垂线，垂足为.设，，则图中线段，线段，线段；由该图形可以得出，，的大小关系为
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2022-10-14更新
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354次组卷
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6卷引用：专题25 欧几里得
2 . 古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”如图，为线段中点，为上的一点以为直径作半圆，过点作的垂线，交半圆于.连接，，，过点作的垂线，垂足为.设，，则图中线段，线段，线段______ ；由该图形可以得出，，的大小关系为______ .
为线段中点，为上的一点以为直径作半圆，过点作的垂线，交半圆于.连接，，，过点作的垂线，垂足为.设，，则图中线段，线段，线段；由该图形可以得出，，的大小关系为
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名校
3 . 科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数
，如果是偶数，就将它减半（即
）；如果是奇数，则将它乘3加1（即
），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．这是一个很有趣的猜想，但目前还没有证明或否定．如果对正整数
（首项）按照上述规则施行变换后得到
，依次施行变换后所得到的数组成数列
，
是数列的前项和，若
，则
________ ．
，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．这是一个很有趣的猜想，但目前还没有证明或否定．如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后得到，依次施行变换后所得到的数组成数列，是数列的前项和，若，则
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2023-11-22更新
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283次组卷
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3卷引用：广西壮族自治区广西贵港市、百色市、河池市2023-2024学年高三上学期11月质量调研联考数学试题
广西壮族自治区广西贵港市、百色市、河池市2023-2024学年高三上学期11月质量调研联考数学试题广西贵港市、百色市、河池市2024届高三上学期11月质量调研联考数学试题（已下线）考点16 几类特殊的数列模型 2024届高考数学考点总动员【练】
名校
解题方法
4 . 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：
，这个公式常称为海伦公式.其中，
.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：
，这个公式常称为“三斜求积”公式.
(1)利用以上信息，证明三角形的面积公式
；
(2)在
中，
，
，求面积的最大值.
，这个公式常称为海伦公式.其中，.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式.(1)利用以上信息，证明三角形的面积公式
；(2)在
中，，，求面积的最大值.
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2023-07-06更新
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861次组卷
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4卷引用：广东省广州市白云区2022-2023学年高一下学期期末数学试题
广东省广州市白云区2022-2023学年高一下学期期末数学试题浙江省2023-2024学年高一下学期3月四校联考数学试题河南省信阳市新县高级中学2024届高三4月适应性考试数学试题（已下线）专题02 第六章 解三角形及其应用-期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）
5 . 在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值为（ ）
A． | B．12 | C． | D． |
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名校
6 . 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，很多代数公理、定理都可以根据这一原理实现证明，也称为“无字证明”．如图，是圆的直径，点为圆心，点是线段上的一点，且
．过点作垂直于的半弦
，连接
，过点作
垂直
于点，则根据该图形我们可以完成的无字证明有：（ ）
①
②
③
④
是圆的直径，点为圆心，点是线段上的一点，且．过点作垂直于的半弦，连接，过点作垂直于点，则根据该图形我们可以完成的无字证明有：（ ） ①
②③
④| A．①② | B．①③ | C．②③ | D．②④ |
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2023-08-13更新
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569次组卷
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4卷引用：陕西师范大学附属中学渭北中学2022-2023学年高二下学期5月月考文科数学试题
陕西师范大学附属中学渭北中学2022-2023学年高二下学期5月月考文科数学试题（已下线）模块三 专题2 基本不等式的灵活运用上海市民办文绮中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（已下线）模块四 专题3 题型突破篇 小题满分挑战练（4）期末终极研习室（2023-2024学年第一学期）高一人教A版
名校
7 . 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，为线段上的点，且
为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连结
，过点作的垂线，垂足为，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为_________ ．（填写序号）
①
②
③
④
为线段上的点，且为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连结，过点作的垂线，垂足为，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为①
②③
④
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2023-02-02更新
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472次组卷
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5卷引用：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题
解题方法
8 . 阅读下面的两个材料：
材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜､中斜和大斜，记小斜为
，中斜为
，大斜为
，则三角形的面积为
．这个公式称之为秦九韶公式；
材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为
，则它的面积为
，其中，这个公式称之为海伦公式．
请你解答下面的两个问题：
(1)已知的三条边为
，求这个三角形的面积
；
(2)已知的三条边为
，求这个三角形的面积；
(3)请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明．（如果多做，则按所做的第一个证明记分）．
材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜､中斜和大斜，记小斜为
，中斜为，大斜为，则三角形的面积为．这个公式称之为秦九韶公式；材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为
，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式．请你解答下面的两个问题：
(1)已知
的三条边为，求这个三角形的面积；(2)已知
的三条边为，求这个三角形的面积；(3)请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明．（如果多做，则按所做的第一个证明记分）．
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2023-02-05更新
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338次组卷
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4卷引用：模块四 专题7 新情境专练（拔高）
（已下线）模块四 专题7 新情境专练（拔高）河北省邢台市南和区等4地2022-2023学年高三上学期11月期中考试数学试题河北省名校联盟2023届高三上学期第二次月考数学试题（已下线）专题1 三斜求积 巧求面积 练
名校
解题方法
9 . 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置.如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察.滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE.然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角
（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.
(1)若在某次测量中，横档
的长度为20，测得太阳高度角
，求影子AE的长；
(2)若在另一次测量中，
，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值；
(3)在杆AB上有两点
，
满足
.当横档CD的中点E位于
时，记太阳高度角为
，其中
，
都是锐角.证明：
.
（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.(1)若在某次测量中，横档
的长度为20，测得太阳高度角，求影子AE的长；(2)若在另一次测量中，
，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值；(3)在杆AB上有两点
，满足.当横档CD的中点E位于时，记太阳高度角为，其中，都是锐角.证明：.
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2023-04-26更新
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1451次组卷
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6卷引用：四川省成都市第七中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
10 . 中国古代数学家用圆内接正
边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率
的值.若据此证明
，则正整数至少等于（ ）
边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率的值.若据此证明，则正整数至少等于（ ）A． | B． | C． | D． |
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