1 . 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为1，且是抛物线E上异于O的两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若直线的斜率之积为，求证：直线恒过定点.

2 . 已知函数
（1）求的单调区间.
（2）若，证明：对任意的时恒成立.

3 . 已知函数，其中a为正实数．
（1）若函数在处的切线斜率为2，求a的值；
（2）若函数有两个极值点，，求证：．

4 . 已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.

5 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到其焦点的距离为.
（1）求抛物线的方程与准线方程；
（2）直线与抛物线相交于两点(位于轴的两侧)，若，求证直线恒过定点.

6 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为，，过，分别作x轴的垂线，，椭圆C的一条切线与，交于M，N两点，求证：是定值.

7 . 已知动点到定点的距离比到定直线的距离小.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点任意作互相垂直的两条直线，，分别交曲线于点，和，.设线段，的中点分别为，，求证：直线恒过一个定点；
（3）在（2）的条件下，求面积的最小值.

8 . 如图，椭圆经过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；
（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.

9 . 已知函数，为的导数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）证明：在区间上存在唯一零点；
（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.

10 . (1)若不等式成立的充分不必要条件为，求实数的取值范围．
(2)已知是正数，且，求证：．