1 . 已知数列为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：；
(3)证明：．

2 . （1）当时，求证：；
（2）求的单调区间；
（3）设数列的通项,证明．

3 . 已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)求证：.

4 . 已知椭圆的离心率，且点在椭圆E上，直线与椭圆E交于不同的两点A，B．

(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线OA，OB的斜率分别为，证明：；
(3)设直线l与两坐标轴的交点分别为P，Q，证明：．

5 . 已知，分别是椭圆的左、右焦点，左顶点为A，则上顶点为，且的方程为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若是直线上一点，过点的两条不同直线分别交于点，和点，，且，求证：直线的斜率与直线的斜率之和为定值.

6 . 已知焦点在轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若动点，（不与定点重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为1，为坐标原点
（ⅰ）求证：直线经过定点；
（ⅱ）求的面积的最大值.

7 . 已知函数.
(1)若有且仅有一个零点，求实数的取值范围：
(2)证明：.

8 . 设函数．
(1)已知曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值；
(2)当时，证明：．

9 . 设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、.当直线垂直于轴时，.

(1)求抛物线的标准方程.
(2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、.求证：直线过定点.

10 . 函数
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：.