1 . 已知函数，，其中e为自然对数的底数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，.

2 . 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线：．当，，时，下列关于曲线的判断正确的有________．

①曲线关于轴和轴对称
②曲线所围成的封闭图形的面积小于8
③曲线上的点到原点的距离的最大值为
④设，直线交曲线于、两点，则的周长小于8

3 . 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为___________．

4 . 已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，，则椭圆的离心率为（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 已知是焦点为的抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆过点.
(1)求的方程；
(2)过点作直线交抛物线于、，求的最大值.

6 . 若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为__________．

7 . 已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与在第一象限交于点，的平分线与轴交于点，则（       ）

A．1

B．

C．2

D．

8 . 已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且．
(1)求的方程；
(2)若不过点的直线与相交于两点，且直线，的斜率之积为1，证明：直线过定点．

9 . 已知椭圆的离心率为，其右焦点到直线的距离为．
(1)求的方程．
(2)若点为椭圆的上顶点，是否存在斜率为的直线，使与椭圆交于不同的两点、，且？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

10 . 已知双曲线，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，设，．
(1)若，点O为坐标原点，当时，求的值；
(2)设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．